绝对不等式的证明

绝对不等式的证明教材：中学代数研究绝对不等式的定义：

当不定元取一切有意义的数值时，不等式恒成立，我们称之为恒不等式，也称为绝对不等式。常识性理解的论证综合法证明不等式分析法证明不等式放缩法证明不等式构造函数证明不等式构造几何图形证明不等式绝对不等式的证明方法反证法证明不等式罗增儒教授用糖水浓度的思考方法，借助生活经验推的得一系列的不等式。例1、分析：若以a表示糖水，b表示糖，那么b/a表示糖水的浓度。现在加糖m，糖水变甜，浓度增大，因此，不等式成立。利用生活中的经验可以让同学们更好的理解不等式的意义。常识性理解的论证方法1例2、证明分析用向量的观点考察不等式会比较直观，例如以上的二维柯西不等式中，可令向量则上述柯西不等式可以用向量表示为证明绝对不等式的综合法，是从题目的已知条件或已知成立的不等式出发，利用不等式的基本性质进行推导变形，进而得出所要求证的不等式。利用综合法的关键是熟知一些常用的不等式，通过变形，将未知的不等式归结为常用的不等式。以下不等式是常用的。如：方法2用综合法证明不等式分析法是证明不等式的一种重要方法，用分析法论证，“若A则B”这个题的模式是：欲证B的真，只需要证明命题B1的真，从而又……，只要证明A为真。现在已知A真，故B真。可见分析法事执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件，写出简要的形式为：

B<=B1<=B2<=…<=Bn<=A例3、证明

用分析法证明不等式方法3分析只需证两端约去ab,故只需再证因为已知只需但是这是已知条件，故原不等式成立注：分析法不是等价证明，不应写成利用放缩法证明不等式的关键是寻找中间变量C，使A<C<B成立，C在量A与B之间架起一座桥梁，通过桥梁C的过渡，使A与B之间间接地建立起不等关系。例4、已知n为正整数，试证：方法4用放缩法证明不等式

分析令

由不等式

将这个同向不等式相乘得

某些不等式从结构上接近某一函数，把某一字母看成自变量构造恰当的函数，利用函数的某些性质来证明不等式。利用构造函数证明不等式关键是构造恰当的不等式。例5、已知,求证：

方法5构造函数证明不等式

分析从不等式的结构来看，易构造函数易证f(x)在R＋上是函数。因为所以从而有如果说不等式中的抽象数量关系能用图形表示，利用图形的几何性质即可证明不等式。例6.设，求证分析从左式四个表达式特征可以看出，他们表示两点间的距离。故可以构造点A(1，0),B(1，1),C(0，1),D(0，0)四边形为正方形，令点P的坐标为(a,b)，则构造几何图形证明不等式

方法6有三角形的性质得所以即我们利用构造图刑法证明不等式的关键是构造图形，常构造的图形有立体几何图形，平面几何图形，解析几何图形，函数图像等。反证法是解决数学问题的一种重要方法，在不等式的证明中也有着广泛的应用。用反证明不等式即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的。它的步骤为：假设结论的反面成立=>逻辑推理=>导出矛盾=>肯定结论。下面举例加以说明用反证法证明不等式

方法7例7、已知f(x)=x²+px+q求证：｜f（1）｜，｜f（2）｜，｜f（3）｜中至少有一个不小于0.5.分析此题分析此题从正面解决比较困难，可以用反证法，假设结论不成立，即｜f（1）｜，｜f（2）｜，｜f（3）｜都小于0.5。则有:由于①③得