2023年高考试题-数学理(全国卷-III)

2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学〔必修+选修Ⅱ〕本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部.共150分.考试时间120分钟.第I卷球的外表积公式S=4球的外表积公式S=4其中R表示球的半径，球的体积公式V=，其中R表示球的半径 如果事件A、B互斥，那么P〔A+B〕=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P〔A·B〕=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CPk(1－P)n－k一、选择题：每题5分，共60分.1．为第三象限角，那么所在的象限是 〔〕 A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限2．过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y－1=0平行，那么m的值为 〔〕A．0 B．－8 C．2 D．103．在的展开式中的系数是 〔〕 A．－14 B．14 C．－28 D．284．设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，那么四棱锥B—APQC的体积为 〔〕A． B． C． D．5． 〔〕 A． B． C． D．6．假设，那么 〔〕 A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c7．设,且,那么 〔〕 A． B． C． D．8． = 〔〕 A． B． C．1 D．9．双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且那么点M到x轴的距离为 〔〕 A． B． C． D．10．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，假设△F1PF2为等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是 〔〕 A．B．C． D．11．不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 〔〕 A．3个 B．4个 C．6个 D．7个12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，那么A×B= 〔〕 A．6E B．72 C．5F D．B0第二卷二、填空题：每题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．复数.14．向量，且A、B、C三点共线，那么k=.15．设l为平面上过点〔0，1〕的直线，l的斜率等可能地取用ξ表示坐标原点到l的距离，那么随机变量ξ的数学期望Eξ=.16．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，那么点P到AC、BC的距离乘积的最大值是三.解答题：共74分.17．(本小题总分值12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，〔Ⅰ〕求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；〔Ⅱ〕计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.18．(本小题总分值12分)如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．〔Ⅰ〕证明AB⊥平面VAD；〔Ⅱ〕求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．19．〔本小题总分值12分〕△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a，b，c成等比数列，〔Ⅰ〕求cotA+cotC的值；〔Ⅱ〕设的值.20．(本小题总分值12分)在等差数列中，公差的等差中项.数列成等比数列，求数列的通项21．〔本小题总分值14分〕设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线.〔Ⅰ〕当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；〔Ⅱ〕当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.22．〔本小题总分值12分〕函数〔Ⅰ〕求的单调区间和值域；〔Ⅱ〕设，函数使得成立，求a的取值范围.2005年普通高等学校招生全国统一考试数学〔理〕参考答案一、1.B2.C3.B4.C5.C6.A7.C8.B9.C10.C11.D12.B二、13、，14、，15、16、3三、解答题：17．解：记“机器甲需要照顾〞为事件A，“机器乙需要照顾〞为事件B，“机器丙需要照顾〞为事件C，由题意.各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件〔Ⅰ〕由题意得：P〔A·B〕=P(A)·P(B)=0.05P〔A·C〕=P(A)·P(C)=0.1P〔B·C〕=P(B)·P(C)=0.125解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5所以,甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5〔Ⅱ〕记A的对立事件为B的对立事件为，C的对立事件为，那么，于是所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.18．证明：方法一：〔Ⅰ〕证明：〔Ⅱ〕解：取VD的中点E，连结AF，BE，∵△VAD是正三形，∴AE⊥VD，AE=∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE.又由三垂线定理知BE⊥VD.因此，tan∠AEB=即得所求二面角的大小为方法二：以D为坐标原点，建立如下图的坐标图系.〔Ⅰ〕证明：不防设作A〔1，0，0〕，那么B〔1，1，0〕，，由得AB⊥VA.又AB⊥AD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直.∴AB⊥平面VAD.〔Ⅱ〕解：设E为DV中点，那么，由因此，∠AEB是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小为19．解：〔Ⅰ〕由由b2=ac及正弦定理得于是〔Ⅱ〕由由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.20．解：依题设得∴，整理得d2=a1d，∵得所以，由得d，3d，k1d，k2d，…，kndn…是等比数列.由所以数列1，3，k1，k2，…，kn，…也是等比数列，首项为1，公比为等比数列，即得到数列21．解：〔Ⅰ〕两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，∴上述条件等价于∵，∴上述条件等价于即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F.〔II〕设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得； A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 即 设AB的中点N的坐标为，那么 由 即得l在y轴上截距的取值范围为〔〕.22．解：