高等数学 方向导数与梯度

9.8方向导数与梯度9.8.1定义9.5(方向导数)

设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义,l是以P0(x0,y0)

为起点的射线,为其方向向量.

如果极限1存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)记为如果函数

f(x,y)在区域D内任何一点(x,y)处沿方向或的方向导数都存在,注:方向导数是函数沿半直线方向的变化率.则为D内的一个函数,称为f(x,y)沿方向的方向导函数(简称方向导数).

处沿方向

的方向导数,2t一定为正!是函数在某点沿任何方向的变化率.方向导数偏导数

分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线Δx、Δy可正可负！的变化率.3的方向导数存在,同理,函数的方向导数存在,存在时,当函数4函数函数5类似,可定义三元函数的方向导数对于三元函数它在空间一点的方向导数,定义为其中6定理9.12处可微,则函数且其中类似地,如果三元函数处可微,且其中7注即为(1)(2)计算方向导数只需知道l的方向及函数的偏导数.在定点的方向导数为(3)(4)关系方向导数存在偏导数存在可微8解令故其方向余弦为例设处指向外侧的法向量,求函数9故10解(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有例求函数11故(1)方向导数达到最大值方向导数达到最小值方向导数等于0.和(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?问在怎样的方向上此方向导数有(2)(3)12考虑函数

定点P0(3,1),P1(2,3).

解

求函数在

P0沿

方向的方向导数.练习13练习求函数在点处沿解切线方向的方向向量在此点的切线方向上曲线的方向导数.14解此方向的方向向量为练习15方向导数最大或最小?9.8.2梯度的概念问题:函数沿什么方向的方向导数为方向导数取最大值方向导数取最小值其中而方向一致时,方向相反时,16定义9.6记作即处的梯度,则梯度又可记为

为函数称向量引用记号称为奈布拉算子,或称为向量微分算子或哈密尔顿算子,17结论:函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为沿着方向,函数减少得最快.

方向：模：

f变化率最大的方向f的最大变化率之值18在几何上被平面所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线称为曲面的等高线表示一个曲面,所截得等高线两端微分,得19

法线的斜率为:所以梯度为等高线上点P处的法向量.由于等高线上任一点等高线20梯度与等高线的关系：在同一直线上,且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线.的梯度的方向与点P的等高21此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方梯度的概念可以推广到三元函数则函数在该点的梯度为

设三元函数在点P处可微分,

向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.22解故可得,在处梯度为令例

求函数在点处的梯度,并问在哪些点处梯度为零?23解练习24解因为

正南方向,问他应当怎样往上登才能攀登得最快?

例一个登山者在山坡上点处,山坡的高度z近似为若以x轴正向为在点处,与梯度方向一致时,攀登最快.如果以x轴正向为正南方向,则登山者应