人教版初中数学八年级下册全册导学案

人教版数学八年级下册全册导学案第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念学习目标：1.理解二次根式的概念；掌握二次根式有意义的条件；3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.自主学习自主学习一、知识链接1.什么叫做平方根？2.什么叫做算术平方根？什么数有算术平方根？二、新知预习1.用带根号的式子填空:(1)如图=1\*GB3①的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为m；若面积为Sm2，则边长为______m．图图图如图=2\*GB3②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____．2.自主归纳：（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式.“____”称为二次根号.（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.三、自学自测1.下列各式中是二次根式的是（）A.B.C.D.2.二次根式有意义的条件是_____________.四、我的疑惑____________________________________________________________课堂探究课堂探究要点探究探究点1：二次根式的意义及有意义的条件问题1分别表示什么意义？问题2这些式子有什么共同特征？要点归纳：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式.“”称为_______.典例精析例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？方法总结:判断二次根式是，抓住二次根式两个必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0.例2当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义?变式题1当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.针对训练下列各式:一定是二次根式的有()A.3个B.4个C.5个D.6个(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.探究点2：二次根式的双重非负性问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知_____0.典例精析例3若，求a-b+c的值.方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例4已知y=,求3x+2y的算术平方根.【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．方法总结:若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.针对训练已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．二、课堂小结当堂检测当堂检测下列式子中，不属于二次根式的是（）式子有意义的条件是（）x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．6.若x，y是实数，且y＜,求的值.拓展提升7.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)≥0，由乘法法则得解得x≥1或x≤0.即当x≥1或x≤0时，有意义.体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？参考答案自主学习一、知识链接问题1:一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2:如果x2=a(x≥0)，那么x称为a的算术平方根.用表示.非负数.二、新知预习(1)(2)(3)2.自主归纳：(1)≥(2)非负数，非负数三、自学自测1.B2.x≤5合作探究一、要点探究探究点1：二次根式的概念及有意义的条件问题1:分别表示2，S，3，的算术平方根问题2:①根指数都为2;②被开方数为非负数.归纳总结：二次根式例1：解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.例2：解：由x-2≥0，得x≥2.【变式题1】（1）解：由题意得x-1＞0，∴x＞1.（2）解：∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥-3.∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.∴x≥-3且x≠1.【变式题2】解：(1)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x-1)2≤0，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为何实数，在实数范围内都无意义.练一练：1.B2.(1)x≥1(2)x≥0且x≠2探究点1：二次根式的概念及有意义的条件问题1:前者x为全体实数；后者x为非负数.问题2：当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.归纳总结：(1)≥;(2)≥.例3：解：由题意可知a-2=0，b-3=0，c-4=0，解得a=2，b=3，c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.例4：解：由题意得∴x=3.∴y=8.∴3x+2y=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．【变式题】解：由题意得∴a=3.∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．练一练：解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9.∴x+4y的平方根为±3.当堂检测1.C2.A3.-1;04.(1)∵a-1≥0,∴a≥1.(2)∵2a+3≥0,∴a≥(3)∵-a≥0,∴a≤0.(4)∵5-a＞0,∴a＜5.5.(1)解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，解得m≥2且m≠-2，m≠2，∴m＞2．(2)解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.∵(x+3)2≥0，∴m-9≥0，即m≥9.解：根据题意得∴x=1.∵y＜，∴y＜∴解：由题意得则解得x≥2或x＜，即当x≥2或x＜时，有意义．

第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质学习目标：1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.重点：掌握二次根式的两个性质：.难点：会利用二次根式的性质解题.自主学习自主学习一、知识回顾1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？2.使式子有意义的条件是_______________.课堂探究课堂探究要点探究探究点1：的性质活动1如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？活动2为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？024......____________________......____________________......a(a≥0)算术平方根024......____________________......____________________......观察两者有什么关系？根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：要点归纳：一般地，(a____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.典例精析例1计算：例2在实数范围内分解因式：方法总结:本题逆用了在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.针对训练计算：探究点2：的性质填一填：20.14......____________________......____________________......a20.14......____________________......____________________......平方运算算术平方根观察两者有什么关系？思考：当a＜0时，-2-0.1..._______________..._______________...a(a-2-0.1..._______________..._______________...平方运算算术平方根观察两者有什么关系？要点归纳：的性质：即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.典例精析例3化简：方法总结:利用化简求值时，而3.14＜π，要注意a的正负性.练一练计算：辩一辩：请同学们快速分辨下列各题的对错：例4实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.例5已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：利用三角形三边关系三边长均为正数，a+b+c＞利用三角形三边关系三边长均为正数，a+b+c＞0两边之和大于第三边，b两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0探究点3：代数式的定义用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_______或____________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.想一想到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？典例精析例6（1）一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是vkm/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.方法总结:列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．针对训练1.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7B.3＞2C.D.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.二、课堂小结当堂检测当堂检测1.化简得（）A.±4B.±2C.4D.-42.当1<x<3时，的值为（）A.3B.-3C.1D.-13.下列式子是代数式的有()①a2+b2;②;③13;④x=2;⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0;⑦10x+5y=15;⑧A.3个B.4个C.5个D.6个4.化简：（1）＝_______;（2）＝_______;（3）;（4）.5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是_________.6.利用a＝（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1)9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)；(6)0.能力提升7.(1)已知a为实数，求代数式的值.(2)已知a为实数，求代数式的值.参考答案自主学习一、知识链接1.一般地，我们把形如的式子叫作二次根式.2.a≥0课堂探究一、要点探究探究点1：的性质活动1：正方形的边长为，用边长表示正方形的面积为，又∵面积为a，即.活动2：根据活动2：0,2,4，要点归纳：≥，它本身例1：解：例2：解：针对训练解：探究点2：的性质填一填：思考：典例精析例3：解：练一练1：解：辨一辨：（1）×（2）×（3）√（4）√议一议：例4：解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.【变式题】解：根据数轴可知b＜a＜0，∴a+2b＜0，a-b＞0，则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b．例5解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-(b+c-a)+(b+a-c)=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．探究点3：代数式的定义概念学习：数，表示数的字母代数式：整式，分式，二次根式例6解：(1)船在这条河中顺水行驶的速度是(v+2.5)km/h，逆水行驶的速度是(v-2.5)km/h．设贺卡的长为5x，则宽为3x.依题意得15x2=S，所以所以它的长为针对训练1.B2.当堂检测1.C2.D3.C4.3,4,7,85.16.(1)(2)(3)(4)(5)(6)7.解：(1)由题意得a+2≥0，-4-2a≥0，∴a=-2.(1)解：由题意得-a2≥0，又∵a2≥0，∴a2=0，∴a=0，

第十六章二次根式16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法学习目标：1.理解二次根式的乘法法则；2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.重点：理解二次根式的乘法法则：.难点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质解题.自主学习自主学习一、知识回顾1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？2.使式子有意义的条件是_________.课堂探究课堂探究要点探究探究点1：二次根式的乘法算一算计算下列各式，并观察三组式子的结果：思考你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测，你能证明这个猜测吗？要点归纳：二次根式的乘法法则：一般地，对于二次根式的乘法是一般地，二次根式相乘，_________不变，________相乘.语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.典例精析例1计算：方法总结:二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即例2计算:方法总结:当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即归纳总结：二次根式的乘法法则的推广：①多个二次根式相乘时此法则也适用，即②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，即例3比较大小(一题多解):方法总结:比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.针对训练1.计算的结果是()A.B.4C.D.22.下面计算结果正确的是()A.B.C.D.3.计算：_________.探究点2：积的算术平方根的性质一般的，反过来可写为要点归纳：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.典例精析例4化简：（1）；（2）．变式题方法总结方法总结:当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.方法总结:当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.例5计算：归纳总结：化简二次根式的步骤：1.把被开方数分解因式(或因数)；2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式a2=|a|把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.针对训练1.计算：2.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若长为，宽为，求出它的面积.二、课堂小结二次根式的乘法内容二次根式的乘法法则算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.即二次根式的乘法法则拓展多个二次根式相乘时此法则也适用，即当堂检测当堂检测1.若，则（）x≥6B．x≥0C．0≤x≤6D．x为一切实数2.下列运算正确的是（）A.B.C.D.3.计算：4.比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：计算：6.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.(1)已知,，求S；(2)已知,，求S.能力提升7.已知试着用a,b表示.参考答案自主学习一、知识链接1.一般地，我们把形如的式子叫作二次根式.2.a≥0课堂探究一、要点探究探究点1：二次根式的乘法算一算：猜测：证明：根据积的乘方法则，有∴就是ab的算术平方根.又∵表示ab的算术平方根，要点归纳：二次根式的乘法法则：一般地，二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.例1：解：例2：解：例3：(1)解：方法一：∵，又∵20＜27，∴，即方法二：∵，又∵20＜27，∴，即又∵52＜54，∴即针对训练B2.D3.30探究点2：积的算术平方根的性质典例精析例4：解：（1）（2）变式题（2）例5计算：针对训练1.解：2.解：它的面积为当堂检测1.A2.D3.4.＞＜5.解：（1）S=ab（2）S=ab7.解：

第十六章二次根式16.2二次根式的乘除第2课时二次根式的除法学习目标：1.了解二次根式的除法法则；会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算；能将二次根式化为最简二次根式.重点：理解二次根式的除法法则，能将二次根式化为最简二次根式.难点：会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.自主学习自主学习一、知识回顾1.二次根式有哪些性质？二次根式的乘法法则是什么？你能用字母表示出来吗？课堂探究课堂探究要点探究探究点1：二次根式的除法算一算计算下列各式，并观察三组式子的结果：思考你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测.要点归纳：（1）算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.（2）当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得典例精析例1

化简：方法总结:类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.探究点2：商的算术平方根的性质要点归纳：把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.例2计算：针对训练1.能使等式成立的x的取值范围是（）A..x≠2B..x≥0C..x＞2D..x≥22.化简：探究点3：最简二次根式问题1你还记得分数的基本性质吗？问题2前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉这样的式子中分母的根号吗？要点归纳：（1）把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.我们把满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.例3计算:练一练在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．探究点4：二次根式除法的应用例4设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知，求a的值.例5高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？二、课堂小结当堂检测当堂检测1.化简的结果是（）A．9B．3C．D．2.下列根式中，最简二次根式是（）A.B.C.D.3.若使等式成立，则实数k取值范围是（）A.k≥1B.k≥2C.1＜k≤2D.1≤k≤24.化下列各式的计算中，结果为的是（）A.B.C.D.5.化简：6.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：J)，I表示电流(单位：A)，R表示电阻(单位：Ω)，t表示时间(单位：s)，如果已知W、R、t，求I，则有.若W=2400J，R=100Ω，t=15s．试求电流I．能力提升7.自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？参考答案自主学习一、知识链接1.2.要点探究探究点1：二次根式的除法算一算猜测要点归纳：典例精析例1

探究点2：商的算术平方根的性质要点归纳：例2针对训练C2.解：探究点3：最简二次根式问题1分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.即问题2例2解：练一练解：只有(3)是最简二次根式；探究点4：二次根式除法的应用例4例5解:由题意得当堂检测1.B2.C3.B4.C5.解：当W=2400，R=100，t=15时，7.解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：按计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0，解得a＞3或a≤0；而按计算，则a≥0，a-3＞0，解得a＞3．

第十六章二次根式16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减学习目标：1.了解二次根式的加、减运算法则；2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.重点：了解二次根式的加、减运算法则.难点：会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.自主学习自主学习一、知识回顾1.满足什么条件的二次根式是最简二次根式?2.化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?课堂探究课堂探究要点探究探究点1：在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式类比探究在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考：(1)由左图，易得2a+3a=；(2)当a=时，分别代入左、右得；(3)当a=时，分别代入左、右得；......(4)根据右图，你能否直接得出当a=，b=时，2a+3b的值？结果能进行化简吗？.要点归纳：（1）判断几个二次根式是否可以合并（加减运算），一定都要化为最简二次根式再判断.（2）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：典例精析例1若最简根式与可以合并，求的值.方法总结:确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2，列关于待定字母的方程求解即可.【变式题】如果最简二次根式与可以合并，那么要使式子有意义，求x的取值范围.针对训练1.下列各式中，与是同类二次根式的是（）A.B.C.D.2.与最简二次根式能合并，则m=_____.3.下列二次根式，不能与合并的是________(填序号）.探究点2：二次根式的加减及其应用思考现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？问题1怎样列式求两个正方形边长的和?问题2所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.要点归纳：二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.加减法的运算步骤：(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；(2)找——找出被开方数相同的二次根式；(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.典例精析例2计算：例3计算：例4已知a,b,c满足.(1)求a,b,c的值；(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为，求其周长.二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小.针对训练1.下列计算正确的是（）A.B.C.D.2.已知一个矩形的长为，宽为，则其周长为________.二、课堂小结当堂检测当堂检测1.二次根式：中，与能进行合并的是（）A.B.C.D.2.下列运算中错误的是（）A.B.C.D.3.三角形的三边长分别为则这个三角形的周长为________.4.计算:5.计算:6.下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2，求圆环的宽度d（π取3.14）.能力提升7.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=，求(2*3)－(27*32)的值．参考答案自主学习一、知识回顾1.满足如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.2.每组化简后，被开方数相同.课堂探究一、要点探究探究点1：在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式类比探究（1）5a（2）（3）（4）2a+3b=典例精析例1解：由题意得解得【变式题】解：由题意得3a-8=17-2a，∴a=5.∴20-2x≥0，x-5＞0.∴5＜x≤10.针对训练D2.13.②⑤探究点2：二次根式的加减及其应用问题1问题2解：列式如下：∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．典例精析例2解：例3计算：例4解：(1)由题意得(2)能.理由如下：∵即a＜c＜b，又∵∴a+c＞b，∴能构成三角形，周长为【变式题】解：当腰长为时，∵∴此时能构成三角形，周长为当腰长为时，∵∴此时能构成三角形，周长为针对训练1.C2.当堂检测1.C2.A3.4.5.解：解：设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为S1，S2，由可知则答：圆环的宽度为解：∵a*b=，∴（2*3）－（27*32）

第十六章二次根式16.3二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算学习目标：1.掌握二次根式的混合运算的运算法则；2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.重点：二次根式的混合运算的运算法则.难点：运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.自主学习自主学习一、知识回顾1.二次根式的乘、除法则是什么？2.怎样进行二次根式的加减运算？3.填空：m(a+b+c)=；(m+n)(a+b)=；(ma+mb+mc)÷m=.课堂探究课堂探究要点探究探究点1：二次根式的混合运算及应用二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.典例精析例1计算：变式计算：方法总结:有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.例2甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽，下底宽，高的梯形，这段路基长500m，那么这段路基的土石方(即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？针对训练计算：探究点2：利用乘法公式进行二次根式的运算问题1整式乘法运算中的乘法公式有哪些?问题2整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?典例精析例3计算：方法总结:进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等来简化运算.【变式题】计算：针对训练计算：探究点3：求代数式的值例4已知试求x2+2xy+y2的值.【变式题】已知，求x3y+xy3.方法总结:用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x-y,等的值，然后将所求代数式适当变形成只含x+y,xy,x-y,等式子，再代入求值.例5计算:方法总结:分母形如的式子，分子、分母同乘以的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.【变式题】已知,求.【练一练】已知的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.二、课堂小结当堂检测当堂检测1.下列计算中正确的是（）2.计算3.设则ab(填“>”“<”或“=”）.4.计算：在一个边长为cm的正方形内部，挖去一个边长为cm的正方形，求剩余部分的面积.6.(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.能力提升7.阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：方法二：(1)请用两种不同的方法化简：(2)化简：参考答案自主学习一、知识回顾1.二次根式的乘、除法则：，2.3.m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb(ma+mb+mc)÷m=a+b+c课堂探究一、要点探究探究点1：二次根式的混合运算及应用典例精析例1变式例2解：路基的土石方等于路基横断面面积乘路基的长度，所以这段路基的土石方为：答：这段路基的土石方为针对训练解：探究点2：利用乘法公式进行二次根式的运算问题1平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.问题2整式的乘法公式就是多项式×多项式，前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用典例精析例3【变式题】计算：针对训练探究点3：求代数式的值例4解：x2+2xy+y2=(x+y)2，把代入上式得原式=【变式题】解：∵，∴∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2－2xy]例5解：【变式题】解：∵练一练解：当堂检测B2.53.=4.解：5.解：由题意得即剩余部分的面积是6.解：(1)(2)7.解：(1)①②

第十七章勾股定理17.1勾股定理第1课时勾股定理学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；2.会用勾股定理进行简单的计算.重点：用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.难点：会用勾股定理进行简单的计算.自主学习自主学习一、知识回顾1.网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢？方法1方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：Sc=__________________________;右图：Sc=__________________________.方法2方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：Sc=__________________________;右图：Sc=__________________________.课堂探究课堂探究要点探究探究点1：勾股定理的认识及验证想一想我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：问题1试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？问题2图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？问题3在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：思考正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么________.活动2接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.证法利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”证明：∵S大正方形证明：∵S大正方形＝________，S小正方形＝________,S大正方形＝___·S三角形＋S小正方形，∴________=________+__________.要点归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.公式变形：探究点2：利用勾股定理进行计算典例精析例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若a=b=5,求c;若a=1,c=2,求b.变式题1在Rt△ABC中，∠C=90°.若a：b=1：2，c=5,求a;若b=15，∠A=30°,求a,c.方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.变式题2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．针对训练求下列图中未知数x、y的值：二、课堂小结内容勾股定理在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.注意1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论当堂检测当堂检测1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c=_______.（2）若c=13，b=12，则a=_______.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.5.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．能力提升：7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.参考答案自主学习一、知识回顾方法1：方法2：课堂探究一、要点探究探究点1：勾股定理的认识及验证猜测：a2+b2=c2证法：c2(b-a)24探究点2：利用勾股定理进行计算典例精析例1解：(1)据勾股定理得(2)据勾股定理得变式题1解：(1)设a=x，b=2x，根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得∵∠A=30°，b=15，∴c=2a.因此设a=x，c=2x，根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得变式题2解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图①，当BC为斜边时，如图②，例2解：由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根据三角形面积公式，∴AC×BC=AB×CD.∴CD=.针对训练解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理可得y2+144=169，解得y=5.当堂检测C2.36cm²3.1754.74或24解：设另一条直角边长是xcm.由勾股定理得152+x2=172，即x2=172-152=289-225=64，∴x=±8(负值舍去)，∴另一直角边长为8cm，直角三角形的面积是×8×15=60(cm2).6.解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=1，∴AB=．在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=2，∴CD=，∴BC=BD+CD=1+，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=++3．7.解：∵AE＝BE，∴S△ABE＝AE·BE＝AE2.又∵AE2＋BE2＝AB2，∴2AE2＝AB2.∴S△ABE＝AB2＝.同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴阴影部分的面积为AB2＝.

第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时勾股定理在实际生活中的应用学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.重点：运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.难点：能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.自主学习自主学习一、知识回顾1.你能补全以下勾股定理的内容吗？如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么____________.勾股定理公式的变形：a=_________,b=_________.在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)若a=3,b=4,则c=_________;(2)若a=5,c=13,则b=_________.课堂探究课堂探究要点探究探究点1：勾股定理的简单实际应用问题观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾某和胡某的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？典例精析例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?例2如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗?例3在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？方法总结:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.针对训练湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为()A.50米B.120米C.100米D.130米2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.（1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL”典例精析例4如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.方法总结:两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？证明:如图,在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,∠C=∠C’=90°,AB=A’B’,AC=A’C’．求证：△ABC≌△A’B’C’．证明：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，根据勾股定理得BC=_______________,B’C’=_________________.∵AB=A’B’，AC=A’C’，∴_______=________.∴____________≌____________(________)．探究点3：利用勾股定理求最短距离问题在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A→B路线，而不选择A→C→B路线，难道小狗也懂数学？思考在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？问题在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近(在以下三条路线中选择一条)？想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，请求出最短路线的长度.要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.典例精析例5有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3）?变式题看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？例6如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？方法总结:求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.针对训练1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少二、课堂小结用勾股定理解决实际问题用勾股定理解决实际问题勾股定理的应用勾股定理的应用解决“HL”判定方法证全等的正确性问题用勾股定理解决点的距离及路径最短问题用勾股定理解决点的距离及路径最短问题当堂检测当堂检测1.从电线杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（）A.24mB.12mC.mD.m第第1题图第2题图2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两棵树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？能力提升6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？参考答案自主学习一、知识回顾1.a2+b2=c22.3.512课堂探究一、要点探究探究点1：勾股定理的简单实际应用问题：这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题典例精析例1解：解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5.因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过.例2解：在Rt△AOB中，根据勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根据勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15，∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.例3解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16(米).针对训练1.A2.解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理得∴这条“径路”的长为5米.(2)他们仅仅少走了(3+4-5)×2=4(步).例4解：如图，过点A作x轴的垂线，过点B作x,y轴的垂线.相交于点C，连接AB.∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得∴A，B两点间的距离为5.思考证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理得探究点3：利用勾股定理求最短距离想一想:根据两点之间线段最短易知第三个路线最近.解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得例5解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.∵AA'=2×3×2=12，A'B'=5，∴AB'=13.即梯子最短需13米.变式题解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得AB12=102+（6+8）2=296，AB22=82+（10+6）2=320，AB32=62+（10+8）2=360，∴AB1＜AB2＜AB3.∴小蚂蚁完成任务的最短路程为AB1，长为.例6解：如图，作出点A关于河岸的对称点A′，连接A′B则A′B就是最短路线.由题意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.在Rt△A′CB中，由勾股定理得针对训练解：由题意得AC=2，BC=1，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB²=AC²+BC²=2²+1²=5，∴AB=，即最短路程为.当堂检测D2.D3.104.解：如图，过点A作AC⊥BC于点C.由题意得AC=8(米)，BC=8-2=6(米)，答：小鸟至少飞行10米.5.解：台阶的展开图如图，连接AB.在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB2＝BC2＋AC2＝552＋482＝5329，∴AB=73cm.6.解：如右下图，在Rt△ABC中，∵AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，∴AB＝45cm，∴整个油纸的长为45×4＝180(cm)．第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时利用勾股定理作图或计算学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.自主学习自主学习一、知识回顾1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？2.求下列三角形的各边长.课堂探究课堂探究要点探究探究点1：勾股定理与数轴问题1.你能在数轴上画出表示的点吗？呢？(提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)问题2长为的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？思考以下是在数轴上表示出的点的作图过程，请你把它补充完整.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.类比迁移：类似地，利用勾股定理可以作出长为线段,形成如图所示的数学海螺.典例精析例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长.针对训练1.如图，点A表示的实数是（）第1题图第1题图第2题图2.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）3.你能在数轴上画出表示的点吗？探究点2：勾股定理与网格综合求线段长画一画在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为的线段AB．典例精析例2在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.例3如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为的线段？例4如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.方法总结:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.针对训练1.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为.探究点3：勾股定理与图形的计算典例精析例5如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.例6如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．二、课堂小结在数轴上表示出无理数的点在数轴上表示出无理数的点通常与网格求线段长或面积结合起来利用勾股定理解决网格中的问题利用勾股定理作图或计算通常与网格求线段长或面积结合起来利用勾股定理解决网格中的问题利用勾股定理作图或计算通常用到方程思想利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算通常用到方程思想利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算当堂检测当堂检测如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.25第第1题图第2题图第3题图2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．5.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.能力提升6.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为,求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．求△ABC的面积；若△ABC三边的长分别为(a＞0)，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．图①图②参考答案自主学习一、知识回顾1.略2.1课堂探究一、要点探究探究点1：勾股定理与数轴问题1问题2思考3⊥2OB典例精析例1解：∵图中的直角三角形的两直角边长为1和2，∴斜边长为，即－1到A的距离是，∴点A所表示的数为－1.针对训练D2.C3.探究点2：勾股定理与网格综合求线段长画一画见右上图典例精析例2解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).由勾股定理得∴△ABC的周长为例3解：如图所示，有8条.例4解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.针对训练解：如图所示.探究点3：勾股定理与图形的计算典例精析例5解：在Rt△ABF中，由勾股定理得BF2=AF2－AB2=102－82=36，∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm，在Rt△ECF中，根据勾股定理得x2+42=(8－x)2，解得x=3.即EC的长为3cm.变式题解：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2.即AM＝2.例6解：如图，延长AD、BC交于E．∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=90°－60°=30°，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB=2，CD=1，∴AE=2AB=2×2=4，CE=2CD=2×1=2，由勾股定理得当堂检测A2.B3.4.解：∵AB=AD=8cm，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形.∵∠ADC=150°，∴∠CDB=150°－60°=90°.∴△BCD是直角三角形.又∵四边形的周长为32cm，∴CD+BC=32-AD-AB=32-8-8=16(cm).设CD=xcm，则BC=(16-x)cm，由勾股定理得82+x2=(16-x)2，解得x=6.∴S△BCD=×6×8=24(cm2).5.解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，设D′F=x，则AF=8-x，在Rt△AFD′中，(8-x)2=x2+42，解得x=3.∴AF=AB-FB=8-3=5.∴S△AFC=AF•BC=10．6.（1）（2）解：如图，∴△ABC即为所求.第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理第1课时勾股定理的逆定理学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数；2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.重点：掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.难点：能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.自主学习自主学习一、知识回顾1.勾股定理的内容是什么？求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：①a＝3，b＝4；②a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.课堂探究课堂探究要点探究探究点1：勾股定理的逆定理下面有三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.问题1分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？问题2这三组数在数量关系上有什么相同点？古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？