傅里叶变换及其性质

会计学1傅里叶变换及其性质2.1引

言

LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。

第1页/共113页2.2周期信号的连续时间傅里叶级数

满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:2.2.1指数形式的傅里叶级数

第2页/共113页周期性方波信号

图

2.2-1周期矩形脉冲信号

第3页/共113页2.2.2周期信号频谱的特点

图

2.2-2周期矩形脉冲信号

第4页/共113页为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。

第5页/共113页2.2.3周期信号的频谱

周期信号的复振幅

一般为nΩ的复函数，因而描述其特点的频谱图一般要画两个，一个称为振幅频谱，另一个称为相位频谱。振幅频谱以ω为横坐标，以振幅为纵坐标画出谱线图；相位频谱以ω为横坐标，以相位为纵坐标得到谱线图。若信号的复振幅

为nΩ的实函数，其复振幅Fn与变量(nΩ)的关系也可以用一个图绘出。

第6页/共113页

取样函数定义为

这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。

据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即

第7页/共113页图

2.2-3Sa(x)函数的波形

第8页/共113页图

2.3-4周期矩形脉冲信号的频谱

第9页/共113页

由图

2.3-4可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：

第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。

第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非Ω的谐波分量。

第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。

当nΩ→∞时，|Fn|→0。

第10页/共113页图

2.3-5不同τ值时周期矩形信号的频谱(a)τ=T/5;(b)τ=T/10第11页/共113页图

2.2-6不同T值时周期矩形信号的频谱(a)T=5τ;(b)T=10τ

第12页/共113页

周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内，

因而，常常将ω=0~ 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为

或

第13页/共113页2.3.3周期信号的功率

周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号f(t)，

无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为

第14页/共113页因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理(式(2.1-16))，有

第15页/共113页2.4非周期信号的连续时间傅里叶变换

2.4.1傅里叶变换第16页/共113页对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，Fn趋于无穷小量，但

可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为F(jω)，即

第17页/共113页

非周期信号的傅里叶变换可简记为

一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对可积，

即要求

第18页/共113页2.4.2非周期信号的频谱函数

由非周期信号的傅里叶变换可知:频谱函数F(jω)一般是复函数，可记为

习惯上将F(ω)~ω的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱

(F(ω)并不是幅度!)，而将φ(ω)~ω曲线称为相位频谱，它们都是ω的连续函数。

第19页/共113页f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出:式中：

第20页/共113页

与周期信号的傅里叶级数相类似，F(ω)、φ(ω)与R(ω)、

X(ω)相互之间存在下列关系：

第21页/共113页

在f(t)是实函数时：

(1)若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的实函数，

且为ω的偶函数。

(2)若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。

与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即

第22页/共113页第23页/共113页2.4.3典型信号的傅里叶变换

例

2.4-1

图

2.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为τ，

高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。

解

门函数gτ(t)可表示为

第24页/共113页图

2.4-1门函数及其频谱(a)门函数；

(b)门函数的频谱；

(c)幅度谱；

(d)相位谱

第25页/共113页例

2.4-2

求指数函数f(t)的频谱函数。

图

2.4-2单边指数函数e-αt及其频谱(a)单边指数函数e-αt;(b)e-αt的幅度谱

第26页/共113页其振幅频谱及相位频谱分别为

解

第27页/共113页例

2.4-3

求图

2.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。

第28页/共113页图

2.4-3双边指数函数及其频谱(a)双边指数函数；

(b)频谱

第29页/共113页例

2.4-4

求图

2.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。图

2.4-4例

2.4-4图(a)信号f(t);(b)频谱

第30页/共113页(a>0)解

图示信号f(t)可表示为第31页/共113页例

2.4-5

求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。

图

2.4-5信号δ(t)及其频谱(a)单位冲激信号δ(t);(b)δ(t)的频谱

第32页/共113页解

可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了所有的频率分量，

而各频率分量的频谱密度都相等。

显然，

信号δ(t)实际上是无法实现的。

第33页/共113页根据分配函数关于δ(t)的定义，

有

第34页/共113页例

2.4-6

求直流信号1的频谱函数。

图

2.4-6

直流信号f(t)及其频谱(a)直流信号f(t);(b)频谱

第35页/共113页解

直流信号1可表示为

第36页/共113页例

2.4-7

求符号函数Sgn(t)的频谱函数。

考察例

2.4-4所示信号f(t)第37页/共113页当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。

例

2.4-4

所示信号的频谱函数为

，从而有

第38页/共113页图

2.4-7

符号函数Sgn(t)及其频谱(a)Sgn(t)的波形；

(b)频谱

第39页/共113页例

2.4-8

求阶跃函数ε(t)的频谱函数。

由阶跃函数ε(t)的波形容易得到

解

从而就可更为方便地求出ε(t)的频谱函数，

即

第40页/共113页图

2.4-8阶跃函数及其频谱(a)ε(t)的波形；

(b)频谱

第41页/共113页表

2.1常用傅里叶变换对

第42页/共113页续表

第43页/共113页2.5傅里叶变换的性质

根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数函数的积分，

即

第44页/共113页1.线性若

且设a1,a2为常数，则有

第45页/共113页2.时移性若f(t)←→F(jω)，

且t0为实常数(可正可负)，则有此性质可证明如下。第46页/共113页例

2.5-1

求图

2.5-1(a)所示信号的频谱函数。

图

2.5-1例

2.5-1的图(a)f(t)的波形；

(b)相位谱

第47页/共113页解

第48页/共113页2.频移性

第49页/共113页频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cosω0t或sinω0t,从而得到f(t)cosω0t或f(t)sinω0t

的信号。因为

第50页/共113页

例

2.5-2

求高频脉冲信号f(t)(图

2.5-2(a))的频谱。

图

2.5-2高频脉冲信号及其频谱(a)f(t)的波形；

(b)频谱

第51页/共113页

解

图2.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数gτ(t)与cos

ω0t相乘，即

第52页/共113页4.尺度变换

第53页/共113页当a>0时：

第54页/共113页

尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反比。在通信系统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用中要权衡考虑。

在尺度变换性质中，

当a=-1时，有

也称为时间倒置定理。

第55页/共113页5.对称性

第56页/共113页我们知道

第57页/共113页图2.5-4取样函数

及其频谱第58页/共113页6.时域卷积

第59页/共113页

在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析中，

求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及系统的单位冲激响应h(t),则有

在频域分析中，若知道F(jω)=F［f(t)］，H(jω)=F［h(t)］，

则据卷积性质可知

第60页/共113页7.频域卷积

第61页/共113页应用频移性质，可知

第62页/共113页8.时域微分

第63页/共113页例如，我们知道

,利用时域微分性质显然有

此性质表明，在时域中对信号f(t)求导数，

对应于频域中用jω乘f(t)的频谱函数。如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换，

即可将微分方程变换成代数方程。从理论上讲，这就为微分方程的求解找到了一种新的方法。

此性质还可推广到f(t)的n阶导数，

即

第64页/共113页9.时域积分

第65页/共113页

时域积分性质多用于F(0)=0的情况，而F(0)=0表明f(t)的频谱函数中直流分量的频谱密度为零。

=0第66页/共113页

例

2.5-4

求图

2.5-5(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。

解

若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。

将f(t)求导，得到图

2.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导，

得到图

2.5-5(c)所示的f2(t)，

显然有

第67页/共113页图

2.5-5梯形信号及其求导的波形第68页/共113页据时移性质有第69页/共113页第70页/共113页图

2.5-6另一种梯形信号

第71页/共113页第72页/共113页12.帕塞瓦尔定理

设

,则在周期信号码傅里叶级数计论中，我们曾得到周期信号的帕塞瓦尔定理，即第73页/共113页

一般来说，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零，但其能量为有限量，因而是一个能量信号。非周期信号的总能量W为

非周期信号的帕塞瓦尔定理表明，对非周期信号，在时域中求得的信号能量与频域中求得的信号能量相等。由于是

的偶函数，因而（35-19）还可写为第74页/共113页

非周期信号是由无限多个振幅为无穷小的频率分量组成的，各频率分量的能量也为无穷小量。为了表明信号能量在频率分量上的分布情况，与频谱密度函数相似，引入

个能量密度频谱函数，简称为能量谱。能量谱G（

）为各频率点上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部能量为与式（3。5-20）第75页/共113页表

2.2傅里叶变换的性质

第76页/共113页2.6周期信号的傅里叶变换

设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分析，

可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即

第77页/共113页例

2.6-1

求图

2.6-1(a)所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(jω)。

图

2.6-1

周期矩形脉冲信号及其频谱(a)f(t)的波形；

(b)复振幅Fn;(c)频谱函数F(jω)第78页/共113页解

周期矩形脉冲f(t)的复振幅Fn为

第79页/共113页

例

2.6-2

图2.6-2(a)为周期冲激函数序列δT(t)，其周期为T，δT(t)可表示为

m为整数

图

2.6-2周期冲激序列及其频谱

第80页/共113页解

先求δT(t)的复振幅Fn：

第81页/共113页

设一周期信号fT(t)，其周期为T，fT(t)中位于第一个周期的信号若为fa(t)，则不难得到

第82页/共113页已经知道

第83页/共113页2.7连续信号的抽样定理

2.7.1信号的时域抽样定理

图

2.7-1信号的抽样

第84页/共113页

图

2.7-1所示的抽样原理从理论上分析可表述为f(t)与抽样脉冲序列PTs(t)的乘积，即

式中的抽样脉冲序列PTs如图

2.7-2所示。它实际上就是例

2.6-1所讨论过的周期矩形脉冲函数，可表示为

第85页/共113页图

2.7-2抽样脉冲序列PTs(t)第86页/共113页图

2.7-3理想抽样的过程及其有关波形

第87页/共113页1.抽样定理

连续时间信号f(t)的时域抽样定理可表述为：在频率fmHz以上没有频谱分量的带限信号，由它在均匀间隔上的抽样值惟一地决定，

只要其抽样间隔Ts小于或等于

。

由抽样定理可知，要求被抽样的信号f(t)为带限信号，即频带有限的信号。其最高频率为fm，

最高角频率ωm=2πfm，即当|ω|＞ωm时，F(jω)=0。带限信号的概念示于图2.7-4。

第88页/共113页图

2.7-4带限信号及其频谱

第89页/共113页

设信号f(t)为带限信号，其最高频率分量为fm，最高角频率为ωm=2πfm，即当|ω|＞ωm时，F(jω)=0。带限信号f(t)的波形及频谱示于图

2.7-5(a)中。

第90页/共113页图

2.7-5信号的抽样及其频谱

第91页/共113页第92页/共113页2.f(t)的恢复

由图

2.7-5(c)所示样值函数fs(t)及其频谱Fs(jω)图形可知，样值函数fs(t)经过一个截止频率为ωm的理想低通滤波器，就可从Fs(jω)中取出F(jω)，从时域来说，这样就恢复了连续时间信号f(t)。

即

式中，H(jω)为理想低通滤波器的频率特性。H(jω)的特性为

(2.7-7)第93页/共113页由式(2.7-7)可知:据傅里叶变换的时域卷积性质，

得

式中，fs(t)为Fs(jω)的傅里叶反变换。

第94页/共113页图

2.7-6f(t)的恢复原理

第95页/共113页由式(2.7-8)所表示的理想低通滤波器的频率特性可表示为ω的门函数的形式，如式(2.7-10)所示：

应用傅里叶变换的对称性，得到第96页/共113页当抽样间隔

时，上式可写为第97页/共113页图

2.7-7f(t)的恢复

第98页/共113页2.8连续系统的频域分析

第99页/共113页2.8.1基本信号ejωt激励下的零状态响应

第100页/共113页

设线性时不变系统的单位冲激响应为h(t)，根据时域分析公式(2.8-1)，系统对基本信号ejωt的零状态响应为

第101页/共113页2.