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文档简介

不等式的证明复习回顾双向沟通练习总结数学组马迪我最喜爱的高中数学学习网:/shuxue/证明不等式的主要依据1a-b>0a>b,a-b<0a<b2不等式的性质

3几个重要不等式

(1)a2≥0(a∈R)(2)a2+b2≥2ab(a,b∈R)(3)≥(a,b∈R,且a>0,b>0)(4)≤≤≤(a,b∈R,且a>0,b>0)(5)a2+b2+c2≥ab+bc+ac

不等式的证明方法主要有：比较法综合法分析法反证法、换元法、放缩法判别式法、构造法典例分析例1、已知：a,b∈R

求证：a2+b2+ab+1>a+b证法一:2(a2+b2+ab+1)-2(a+b)=a2+b2+2ab+a2-2a+1+b2-2b+1=(a+b)2+(a-1)2+(b-1)2>0.∴a2+b2+ab+1﹥a+b.证法二:a2+b2+ab+1-a-b=a2+a(b-1)+b2-b+1

把a作变元,Δ=(b-1)2-4(b2-b+1)=-3b2+2b-3=-3(b-)2-<0.∴a2+b2+ab+1﹥a+b.证法三：

a2+b2+ab+1-a-b=a2+a(b-1)+b2-b+1=(a+)2+(b-)2+>0.∴a2+b2+ab+1﹥a+b.例2、已知a,b,c,d都是实数，且a2+b2=1,c2+d2=1,求证:∣ac+bd∣≤1huanzongbifen证法1:（换元法）

a2+b2=1,c2+d2=1.

可设a=cosα,b=sinα,c=cosβ,d=sinβ, ∣ac+bd∣=|cosαcosβ+sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1.

证法2:(综合法)∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣≤+==1证法3:(比较法)显然有∣ac+bd∣≤1

-1≤ac+bd≤1.

先证ac+bd≥-1,

∵ac+bd+1=ac+bd++

=ac+bd++=≥0,

∴ac+bd≥-1.

再证ac+bd≤1,

∵1-(ac+bd)=+-(ac+bd)

=+-ac-bd

=≥0,

∴ac+bd≤1.

综上得∣ac+bd∣≤1

证法4（分析法）

要证∣ac+bd∣≤1,

只需证(ac+bd)2≤1.

即只要证a2c2+2abcd+b2d2≤1.

由于a2+b2=1,c2+d2=1,

因此上式等价于a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2)(c2+d2)

即证(ad-bc)2≥0,

而(ad-bc)2≥0显然成立.

故∣ac+bd∣≤1.

练习

1、已知a>b>c,

求证：+

2.已知：x﹥0,y﹥0,z﹥0,

求证：+

>x+y+z.+>

3、已知

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