2022-2023学年江苏省连云港市灌南高一年级上册学期解题能力大赛数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高一上学期解题能力大赛数学试题一、单选题1．函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先考虑函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断方法可求函数的单调减区间.【详解】错解：令，是有，而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，即其减区间为.故选：A.错因：没有考虑函数的定义域.正解：由可得或，故函数的定义域为.令，是有，而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，即其减区间为.故选：D2．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由零次幂的底数不为零，二次根式的被开方数非负，分式的分母不为零，列不等式组可求得结果.【详解】由题意得，解得，且，所以函数的定义域为，故选：C3．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是()A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出的对称轴，再由题意得，求解即可.【详解】∵函数的图象是开口方向朝上，以直线为对称轴的抛物线，又∵函数在区间上是减函数，故，解得，故选B【点睛】二次函数的单调区间：,对称轴为,则（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）,函数的单调递增区间为，单调递减区间为.4．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数､十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则的估算值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，化为指数式即可得出.【详解】令，则，∴，即的估算值为.故选：C.5．已知函数，若值域为，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数的解析式确定区间端点处函数值，结合函数图象，数形结合，确定参数的范围，即得答案.【详解】当时，，值域为当时，由，得，此时，由，得，得或，此时，综上，即实数的取值范围是，故选：6．已知函数，令，则不等式的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】由可知，的图像是与在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出的图像，结合图像，即可求得的解集.【详解】由可知，的图像是与在同个区间函数值大的那部分图像，由此作出的图像，联立，解得或，故，，所以，又由可知，其解集为的函数值比大的那部图像的所在区间，结合图像易得，的解集为或联立，解得或，故，，联立，解得，故，所以的解集为或.故选：C..7．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】函数在区间是单调的，由，可得、是方程的两个同号的不等实数根，由，解不等式即可.【详解】由题意可得若函数在区间是单调的，所以，或，，则，，故、是方程的两个同号的不等实数根，即方程有两个同号的不等实数根，注意到，故只需，解得，结合，可得.故选：D8．已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，根据条件可得函数在上递增，再根据，得到在上是偶函数，从而将，转化为求解.【详解】令，因为，当时，总有，即，即，当时，总有，所以在上递增，又因为，所以，，所以在上是偶函数，又因为，所以，即，所以，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上是偶函数，将问题转化为求解.二、多选题9．下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用指数、对数、根式的运算法则化简即可.【详解】因为，所以A错误；因为，所以B正确；因为，所以C错误；因为，所以D正确.故选：BD.10．下列说法正确的是（

）A．函数在上的值域为B．函数的值域为C．关于x的方程有解，则D．当时，恒成立，则a的取值范围为【答案】BC【分析】A选项，分离常数后得到函数的单调性，从而求出值域；B选项，换元法求解函数值域；C选项，求出，从而得到；D选项，参变分离后得到，分离常数，结合基本不等式求出的最小值，从而得到a的取值范围.【详解】函数因为在上单调递增，所以在上单调递增，故，所以值域为，A错误；令，则，，当时，取得最大值，最大值为，无最小值，故函数的值域为，B正确；令得：，故的定义域为，故，关于x的方程有解，则，解得：，C正确；恒成立，即恒成立，因为，所以，故，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，所以，则a的取值范围为，D错误.故选：BC11．定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】求出在上的值域，利用得到在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a的取值范围.【详解】当时，可知在上单调递减，在上单调递增，所以在上的值域为，在上的值域为，所以在上的值域为，因为，所以，所以在上的值域为，当时，为增函数，在上的值域为，所以，解得：；当时，为减函数，在上的值域为，所以，解得：；当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上：的取值范围是.则ABD满足题意.故选：ABD12．给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（

）A．函数的定义域为R，值域为B．函数的图象关于直线对称C．函数是偶函数D．函数在上单调递增【答案】ABC【分析】根据函数的定义，画出函数的图象，根据图象判断即可.【详解】根据的定义知函数的定义域为，，即，所以，函数的值域为，A正确；函数的图象如图所示，由图可知的图象关于直线对称，B正确；由图象知函数是偶函数，C正确；由图象知D不正确．故选：ABC．【点睛】本题的关键在于理解的含义，然后写出函数的解析式，根据解析式作出函数的图象，进而通过图象判断函数的性质.三、填空题13．已知，则__________．【答案】【分析】将代入已知关系式即可求得结果.【详解】令，解得：，.故答案为：.14．若函数的定义域为，则的值为_________．【答案】【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值．【详解】由题意的解是，所以，解得，，所以．故答案为：．15．若为单元素集合，则实数的值为___________.【答案】【分析】由题意知，只要有且仅有一个实数满足即可，所以，解方程即可得出答案.【详解】若为单元素集合，只要有且仅有一个实数满足即可，所以，解得：.故答案为：.16．函数在上的最小值是______．【答案】4【详解】，其中．对，抛物线开口向上，对称轴为．∴，．∴，抛物线开口向上，对称轴为．∴．四、解答题17．已知集合，，.(1)若，求集合；(2)在，两个集合中任选一个，补充在下面问题中，，___________，求使p是q的必要不充分条件的的取值范围.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）将代入集合，求得，利用集合的运算法则即可；（2）若选集合：先计算出，根据条件得出集合是集合的真子集，利用包含关系列出不等式组即可求得答案。若选集合：先计算出，根据条件得出集合是集合的真子集，利用包含关系列出不等式组即可求得答案。【详解】（1）解（1）当时，可化为，解得，，又，.（2）（2）若选集合B：由，得，，∴由p是q的必要不充分条件，得集合是集合的真子集.，解得，m的取值范围为.若选集合：由，得，由p是q的必要不充分条件，得集合是集合的真子集，，解得，m的取值范围为.18．已知函数，且.(1)求m；(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(3)求函数在上的值域.【答案】(1)(2)函数在上单调递增，证明见解析(3)【分析】（1）根据函数求值，建立方程，可得答案；（2）根据单调性的定义，利用作差法，可得答案；（3）由（2）的单调性，可得答案.【详解】（1）∵，且，解得..（2）函数在上单调递增，证明：设，则，∵，∴，，故，即，所以函数在上单调递增.（3）由（2）得函数在上单调递增，故函数在上单调递增，又，所以函数在上的值域为.19．设二次函数在区间上的最大值、最小值分别为，集合.（1）若，且，求；（2）若，且，记，求的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求得；若，，则说明两根为1，2．利用韦达定理求，，再利用二次函数图象与性质求解;（2）若，得到方程有两个相等的解都为2，根据韦达定理求出，，的关系式，根据大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在，上的和，代入（）中得到新的解析式（）根据（）的在，上单调增，求出（）的最小值为（1），求出值即可．【详解】（1），，，有两根为1，2．由韦达定理得（2）若，方程有两相等实根，根据韦达定理得到，，所以，，，，其对称轴方程为，则（）又（）在区间，上为单调递增的，当时，（）【点睛】本题主要考查学生灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一个闭区间上二次函数的最值．20．已知函数满足，函数是上单调递增的一次函数，且满足.(1)证明：，；(2)已知函数，①画出函数的图像；②若且，，互不相等时，求的取值范围.【答案】(1)证明过程见解析；(2)①函数的图像见解析；②【分析】（1）先由赋值法求得函数的解析式，再由待定系数法求得函数的解析式，利用作差法即可比较与的大小；（2）①根据一次函数和二次函数图像的性质作出分段函数图像即可；②根据函数的图像得到，再根据函数图像得到，，的取值范围，即可求解.【详解】（1）证明：由，得：；联立，消去得：；又由函数是上单调递增的一次函数，设（），则，即，且，解得：；所以，对于，有，对，，则；综上：，.（2）由（1）得，；①作出的函数图像，如图所示：②不妨设，由①函数的图像可得：，即，，，且等号同时成立，又，即.故的取值范围为.21．已知定义域为R的函数满足.(1)求函数的解析式；(2)若对任意的，都有恒成立，求实数x的取值范围；(3)若使得，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式；（2）可看作关于的一次函数，根据一次函数的性质，只需，求出实数x的取值范围；（3）问题转化为只需在上成立，对进行分类讨论，得到不等式，求出实数a的取值范围.【详解】（1），令，则，故，所以；（2）可看作关于的一次函数，要想对任意的，都有恒成立，只需要，解①得：，解②得：，则与求交集得，实数x的取值范围是；（3）若使得，只需在上成立，的对称轴为，当时，在上单调递增，所以，，由，解得：，与取交集得：；当时，在上单调递减，所以，，由，解得：，与取交集得：；当时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以，，由，解得：或，或与取交集得：，当时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以，，，解得：或，或与取交集得：，综上：或实数a的取值范围是22．设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有；②当时，；③.（1）求，的值；（2）证明在