第五周第二次课-分块矩阵和矩阵的秩

几何与代数

主讲:王小六

东南大学线性代数课程

第二章矩阵第三节

分块矩阵回顾：

方阵A可逆当且仅当……?第二章矩阵§2.3分块矩阵一.基本概念1001201045001763210065400§2.3分块矩阵1001201045001763210065400=E3

BC

O2分块矩阵二.基本运算分块加法A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bs1

Bs2…Bsr,A11+B11

A12+B12…A1r+B1r

A21+B21

A22+B22…A2r+B2r

…………As1+Bs1

As2+Bs2…Asr+Bsr

.A+B=第二章矩阵§2.3分块矩阵设矩阵A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,为常数.A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr.则A=2.分块数乘第二章矩阵§2.3分块矩阵设矩阵A=A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,A11T

A21T…As1T

A12T

A22T…As2T

…………A1rT

A2rT…AsrT.则AT=3.分块转置第二章矩阵§2.3分块矩阵3.分块乘法设A为ml矩阵,B为l

n矩阵,将它们分块如下A=A11

A12…A1qA21

A22…A2q

…………Ap1

Ap2…Apq,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bq1

Bq2…Bqr,其中Ai1,Ai2,…,Aiq的列数分别与B1j,B2j,…,Bqj的行数相等.(i=1,2,…,p;j=1,2,…,r.)C11

C12…C1rC21

C22…C2r

…………Cp1

Cp2…Cpr,其中Cij=AikBkj,则AB=k=1q第二章矩阵§2.3分块矩阵k1k2…kq

k1k2…kq10

1012011041112

0B=,求AB.10

00010012101101例.设A=,解:A=,E

OA1

EB=,B11EB21

B22其中E=,10011211A1=,1012B11=,10

11B21=,412

0B22=.于是AB=E

OA1

EB11EB21

B22,B11

EA1B11+B21

A1+B22

=第二章矩阵§2.3分块矩阵于是AB=E

OA1

EB11EB21

B22B11

EA1B11+B21

A1+B22

=,而A1B11=121110123402=,A1B11+B21=340210

11+A1+B22=1211412

0+2411=,333

1=.B11

EA1B11+B21

A1+B22

从而AB==.10

1012012

4331

13

1第二章矩阵§2.3分块矩阵二.常用的分块法1.将给定矩阵分为2×2的分块矩阵例假设A,B分别是s阶和t阶可逆矩阵，证明：矩阵可逆，并求其逆矩阵。M=AOCB第二章矩阵§2.3分块矩阵A=A1

O…OO

A2…O

…………O

O…As,称为分块对角矩阵(或准对角矩阵),其中A1,A2,…,As都是方阵.2.分块对角矩阵例如2100002100002000001200034.若A1

,A2,…，As都可逆，则A是否可逆？第二章矩阵§2.3分块矩阵A=[1,2,…,

n].3.A=a11

a21

am1

a12

a22

am2

……

…a1n

a2n

amn

…………,1=,a11

a21

am1

…

n=,a1n

a2n

amn

…

2=,a12

a22

am2

…第二章矩阵§2.3分块矩阵β1

=[a11,

a12,…,

a1n],β1

β2…βmA=.4.a11

a12…a1n

a21

a22…a2n

…………

am1

am2…amn

A=β2

=[a21,

a22,

…,

a2n],βm

=[am1,

am2,

…,

amn],…第二章矩阵§2.3分块矩阵例

假设A,B分别是s×n和n×t矩阵。利用下列分法写出乘积AB。(1)将A的每一行视作一块，将B视作一块；(2)将A的每个元素视作一块，将B的每一行视作一块；(3)将A视作一块，将B的每一列视作一块；(4)将A的每一列视作一块，将B的每个元素视作一块；第二章矩阵§2.3分块矩阵例假设A是二阶方阵，x是二维非零列向量，若A2x+3Ax=6x,B=(x,Ax),求一矩阵C，使得AB=BC.第二章矩阵§2.3分块矩阵特别地，若取

0

…010…0η=:=ei,那么Aei=

则有

Aη=x11+x22+…+xn

n.

如果A=[1,2,…,

n]，

x1

x2…xnη=.第i个分量i特别地，若取

ξ

=[0,…,0,1,0,…,0]:=εi,则εiA=

则有

ξA=x1β1+x2β2+…+xnβn.

如果

ξ

=[x1,x2,…,xn]，

β1

β2…βnA=.第i个分量βi例假设A=(aij)4×5,B=.求一对矩阵C,D,使得B=CAD.a22a24a25a42a44a45

第二章矩阵§2.3分块矩阵

第二章矩阵第四节

矩阵的秩§2.4矩阵的秩问题：在求解线性方程组时，增广矩阵(A,b)

阶梯形矩阵(A1,b1),

A1

和(A1,b1)的非零行数与初等行变换有关吗？初等行变换基本概念1.k阶子式这样的子式共有

个.k阶子式mnk行k列第二章矩阵§2.4矩阵的秩例如:A=2041

013240822,0,4,1,0,1,3,2,4,0,8,2.的1阶子式有34个:A的2阶子式有36个:0413,0112,4132,20

01,24

03,21

02,0408,0102,4182,20

40,24

48,21

42,0140,

3282.0348,0242,1308,1202,第二章矩阵§2.4矩阵的秩2041

01324082的3阶子式有14个:204

013408201

012402241

032482041132082====0.第二章矩阵§2.4矩阵的秩2.矩阵A的秩(rank)记为r(A)或秩(A)

r(A)=r

A中至少有一个r阶子式D不为零，A的所有更高阶子式(若存在)等于零.

204101324082而3阶子式全为0,因此它的秩为2.例如有一个2阶子式20010,第二章矩阵§2.4矩阵的秩第二章矩阵§2.4矩阵的秩注:(1)零矩阵的秩规定为0.第二章矩阵§2.4矩阵的秩(2)n阶方阵A的秩等于n

A是可逆阵.(3)矩阵As×t的秩满足：r(A)≤min(s,t)如果矩阵的秩等于它的行数，则称是行满秩的；类似有列满秩的概念.可逆矩阵也称为满秩矩阵注:(4)r(AT)=r(A).(5)如果A的每一个k阶子式都等于零，则(6)如果A的有一个k阶子式不等于零，则r(A)<k.r(A)≥k.问题:假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等于零,那么它的4阶子式中会出现非零的吗?答:绝对不会!

因为每个4阶子式都可以按行展开,通过一些3阶子式的组合得到.第二章矩阵§2.4矩阵的秩命题2.1r(A)=r

当且仅当A

中存在非零的r阶子式，但A中所有r+1阶子式（如果存在的话）都等于零.第二章矩阵§2.4矩阵的秩例

120501

2474

1015316414的秩=?注:对于一个阶数很高且比较复杂的矩阵来说,

按照定义去求它的秩是一件很麻烦的事.第二章矩阵§2.4矩阵的秩4

08290

30120

004700000例.的秩为

.3注:

可以证明

命题2.2

阶梯形矩阵的秩等于其非零行的数目.

而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行

变换化为阶梯形矩阵.初等行变换是否改变

矩阵的秩？第二章矩阵§2.4矩阵的秩二.初等变换和矩阵的秩引理2.2若矩阵A经过初等行变换变成B，则r(A)≤r(B).引理2.3若矩阵AB，则BA.初等行变换初等行变换由引理2.2和引理2.3，得命题2.3若矩阵AB，则r(A)=r(B).

初等行变换例

120501

2474

101531