平行线等分线段定理及三角形、梯形中位线

第七讲平行线等分线段定理

及三角形、梯形中位线（一）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1.

经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰.推论2.

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.一、主要知识点l1l2l3mn

l1l2l3mn

2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.3.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.S梯形=中位线·高.定理的推广：

若l1∥l2∥l3∥l4,AB=BC=CD.则A`B`=B`C`=C`D`.一、主要知识点mnmn二、例题和练习例1：已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M为AD的中点，BM的延长线交AC于N.若AN=2cm.

求：AC的长.解：过D作DE∥BN交AC于E.∵D是BC的中点,∴CE=EN(经过三角形一边的中点，平行于另一边的直线必平分第三边).

在△ADE中，∵M是AD中点，MN∥DE.∴AN=NE.（推论2）

∴AN=NE=EC.∴AC=3AN=6cm.E二、例题和练习例2：已知：如图，AC⊥AB,DB⊥AB,O是CD的中点.

求证：OA=OB.解：作OE⊥AB于E.∵AC⊥AB,DB⊥AB,∴AC∥OE∥BD.∵CO=DO,∴AE=BE.(平行线等分线段定理)∴OE是AB的中垂线.∴OA=OB.E二、例题和练习例3：已知：如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于O，E、F分别是OA、OD的中点.

求证：四边形EBCF是等腰梯形.证明：∵ABCD是矩形，

∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC=OB=OD.∵E、F分别是OA、OD的中点，

∴EF∥AD（三角形中位线定理）

∴EF∥BC.且BC>EF,BE与CF不平行.∴四边形EBCF是梯形.∵OE=OF，∠1=∠2，OB=OC.∴△BEO≌△CFO.∴BE=CF.∴梯形EBCF是等腰梯形.12已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是BD、AC的中点.求证：EF∥BC.二、例题和练习例4：求证：梯形对角线中点的连线平行于底，并且等于两底差的一半.例4：已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是BD、AC的中点.求证：EF∥BC.二、例题和练习证明：连DF并延长交BC于G.∵AD∥BC,∠1=∠2，∠3=∠4，AF=CF，

∴△ADF≌△CGF,∴DF=FG,AD=CG.

在△DBG中，∵E是BD中点，F是DG中点，

∴EF∥BC，

∵BG=BC-CG=BC-AD.G例5：已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，G、E分别是AB、CD的中点.GF∥AE交BC于F.求证：EF=AG.二、例题和练习证明：连GE.∵G、E分别是AB、CD的中点，

∴GE∥BC（梯形中位线定理）.∴∠1=∠B，∠2=∠3.

又∵GF∥AE，∴∠2=∠4，∴∠3=∠4.∵∠1=∠B,∠4=∠3,AG=GB,∴△AGE≌△GBF,∴AE=GF,又∵AE∥GF,∴四边形AGFE是平行四边形.∴EF=AG.例6：已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于E，DF⊥BC于F，MN是梯形的中位线.求证：DF=MN.二、例题和练习提示：作DH∥AC交BC