数字信号处理信号的采样和重构

第6章信号的采样与重建6.1理想的连续时间信号采样与重建6.2连续时间信号的离散时间处理6.3模数和数模转换器6.4连续时间带通信号的采样与重建6.5离散时间信号采样6.6过采样A/D和D/A转换器6.7小结和参考文献1理想的连续时间信号采样与重建.如果模拟信号的谱能够从离散时间信号的谱中完全恢复，那么就没有损失信息。通过寻找模拟信号的谱和离散时间信号的谱之间的关系来研究取样过程。如果是非周期且能量有限的信号

从取样得到离散时间信号

注意到周期取样在信号和中的变量和之间带来关系和的频率变量和之间的对应关系:例如，假定一个带限模拟信号的谱如图

(a)所示。当时，谱为0。如果，则离散时间信号的谱将如图(b)所示，清晰可见。

如果,那么的周期延拓将导致谱重叠如果,那么的周期延拓将导致谱重叠离散时间信号的谱包含了模拟信号谱的混叠频率分量，最终使得无法从取样中恢复出原始信号。

当不存在混叠时

用取样信号重构原始模拟信号的内插公式

内插函数

利用理想内插公式重构连续时间信号

在所有其他时刻，可以通过内插函数的时移形式的加权求和准确得到。

取样定理

最高频率(带宽)为的连续时间带限信号，当取样率时，可以从它的取样信号惟一恢复出原始信号。根据取样定理和重构公式,从取样恢复模拟信号需要无限个取样。仅关心从有限个取样恢复有限时宽的信号。如果取样率太低，则出现混叠，该效果可以用模拟信号的频率变量在频率轴上多重折叠来描述。

时域和频域函数之间的关系

假定模拟信号是带限的并且对其进行取样的取样率等于或者高于Nyquist率。

实际中，在取样之前都要做抗混叠预滤波

例6.1.1正弦信号中的混叠

连续时间信号

在处具有如图(a)所示线谱的离散谱。用取样频率对信号进行取样，导致原来信号频谱在的倍频上复制。图(b)给出了当时的频谱。为了重构连续时间信号，应该在基本频率范围内选择频率分量。图(c)给出了所得到的谱。重构的信号为现在，如果选取取样频率满足，则取样信号的频谱如图(d)所示。重构信号如图(e)所示，可表示为在这两种情况下，都出现了混叠，以致于重构信号的频率是原始信号的频率的混叠形式。例6.1.2非带限信号的取样与重建

考虑连续时间双边指数信号:1.确定取样信号的谱。2.画出和的信号和的波形及其频谱图。3.画出用理想带限插值方法重建后的连续时间信号的波形。解:(a)如果用取样频率对取样，得到

如果直接计算傅里叶变换，就可以很容易得到的谱很明显，因为是周期为的周期信号，因此也是周期信号。(b)由于不是带限的，混叠不可避免。图

(a)示出了时的原始信号和它的谱，图

(b)和(c)分别示出了时的取样信号及该信号的谱。很清楚，在频域混叠失真值得注意。由混叠所引起的失真可通过提高取样率来有效地减轻。(c)重构信号的谱为

利用理想内插公式计算由混叠所引起的失真可通过提高取样率来有效地减轻

6.2连续时间信号的离散时间处理模拟信号数字处理的系统(图6.2.1)

预滤波器是一个模拟滤波器，有双重目的:确保被取样的信号的带宽限制在所需要的频率范围内。限制加性噪声谱和其他破坏理想信号的干扰。

规定好了预滤波器的需求，并选好所需要的取样率，就可着手设计用于离散时间信号的数字信号处理运算。

理想A/D转换器在时域和频域的输入和输出特性理想D/A转换器的输入和输出特性

D/A是线性时变系统，具有离散时间输入和连续时间输出.现在假设给出一个连续时间LTI系统是否存在一个离散时间系统,使图6.2.1中整个系统等价于连续时间系统?如果是带限信号且，那么对于，就可以得到。因此，图6.2.1的系统输出为：为了确保，需要选择一个离散时间系统，使得连续时间信号做离散时间滤波的理论基础：在是带限信号且这种特殊情况下，将A/D转换器（线性时变系统）与LTI系统和D/A转换器（线性时变系统）级联，等价于连续时间系统。6.3模数和数模转换器1模数转换器2量化与编码3量化误差分析1模数转换器在关于连续时间和离散时间信号处理的等效性讨论中，做了一个隐含的假设，即，模数转换中的量化误差和数字信号处理中的舍入误差可忽略不计。应该强调的是，由于模拟系统中的电子元件有公差，它们在运算期间引入噪声，所以模拟信号处理运算不能非常精确地完成。一般说来，数字系统设计者比正在设计等效的模拟系统的模拟系统设计者能更好地控制数字信号处理系统中的公差。(a)A/D转换器基本元件框图；(b)理想S/H电路的时域响应

2量化与编码

A/D转换器的基本任务是将输入的连续幅度范围转换成一组离散的数字码字集。这种转换包含量化和编码的过程。量化是一个非线性不可逆过程，它将时刻的给定幅度映射成取自一组有限集合内的幅度。用个判定级将信号的幅度区域分成个区间：量化器的可能输出如果用数字系统处理所得到的数字信号，通常都要求采用均匀量化：在像语音之类的信号的传输和存储应用中，经常利用非线性和时变量化器。如果零被安排为一个量化级，则量化器是中平型，如果安排零为一个判定级，则称量化器为中升型。量化误差中平型量化器的输入幅值被四舍五入到最近的量化级。

Δ是量化器的步长

图6.3.2量化过程和L=8级的中平型量化器图6.3.3中平型量化器示例A/D转换器中，编码过程

编码过程把一个惟一的二进制数指定给一个量化级，如果我们有级，则我们至少需要个不同的二进制数。

A/D转换器的步长或者说分辨率

二进制编码方法各式各样，每一种都有优缺点。在大多数字信号处理器使用的表数方法是补码表示。理想A/D转换器引入的惟一退化是量化误差，并且可以通过增加位数来减少。实际的A/D转换器与理想的A/D转换器在多个方面有所不同。

3量化误差分析量化误差取决于输入信号的特征和量化器的非线性性，采用统计方法确定量化对A/D转换器性能的影响。在统计方法中，假定量化误差在本质上是随机的。将该误差视为加在原信号（未被量化）上的噪声。如果输入模拟信号在量化器的范围之内，则量化误差的幅度是有界的，称所造成的误差为粒状噪声。当输入信号落在量化器的范围之外，变成无界，并造成过载噪声。当这类噪声出现时，可能引起严重的信号失真，我们处理这种情况的惟一办法是为输入信号定标，以便它的动态范围落在量化器的动态范围之内。量化误差的数学模型在没有过载噪声的基础上假设：1.在区间上均匀分布。2.是平稳白噪声序列。3.与信号序列不相关。4.信号序列是零均值平稳序列。一般说来，这些假设是不成立的，但是当量化步长小，并且两个相继的样本之间信号序列跨过几个量化级时，就是成立的。加性噪声对理想信号的影响

假如均匀分布在区间上，则误差的均值为零，方差（量化误差功率）为４．数模转换器

在实际中，D/A转换通常由具有取样保持（S/H）功能的D/A转换器紧接一个低通（平滑）滤波器来实现．在理想情况下，对一个3位双极信号，其输入输出特性如图6.3.7所示。连接点的线是一条过原点的直线，在实际的D/A转换器中，连接点的线可能偏离理想情形，一些典型的偏离是偏移误差、增益误差和输入输出中的非线性特性等，图6.3.7说明了这些类型的误差。(a)理想D/A转换器的特性；(b)实际D/A转换器中的几种典型的偏移6.4连续时间带通信号的采样与重建带宽为、中心频率为的连续时间带通信号，在两个频段都有频率分量，其中。有一些采样技术可以使采样率只与带宽有关，而与信号频谱的最高频率无关。带通信号采样在数字通信、雷达、声纳系统领域具有重要意义。内容1均匀或一阶采样2交叉或非均匀二阶采样3带通信号的表示4