机械信号分析 频域分析

数字信号处理基础篇郝旺身郑州大学机械工程学院振动工程研究所2000年1月5日1/13/20231现代机械信号处理基础篇主要介绍经典的平稳机械信号处理方法及其应用。主要的内容包括：机械测试信号及其处理的基本概念机械信号幅值域处理机械信号时域处理机械信号频域处理1/13/20232郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱傅立叶变换与连续频谱数字信号处理简介模拟信号的离散化离散傅里叶变换及其快速算法功率谱密度分析频域分析的应用信号滤波信号解调细化ZOOM-FFT倒频谱分析1/13/20233郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理时域到频域的转换可以了解被测信号的频率构成可更好的反映物理量的特征，获得更丰富的信息1/13/20234郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理时域到频域的转换1/13/20235郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱周期信号的傅立叶级数展开

满足Dirichlet条件的周期函数f(t)，若其周期为T，则该函数可以展开为“正交函数线性组合”的无穷级数，即傅立叶级数其中，,,，为基波频率，为正整数。ak和bk称为傅立叶系数1/13/20236郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱周期信号的傅立叶级数展开或写成

第k次谐波的幅值,第k次谐波的初相值，静态分量,,基波频率,第k次谐波(k=1,2,…)。(1)1/13/20237郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱周期信号的傅立叶级数展开矩形波常值分量余弦分量正弦分量矩形波的展开傅立叶级数为10-T/2-1f(t)t1/13/20238郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱周期信号的傅立叶级数展开三角波常值分量余弦分量正弦分量三角波的展开傅立叶级数为t0-T/2F(t)T/21/13/20239郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数的物理意义及离散频谱1/13/202310郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数的物理意义及离散频谱以频率f(或ω)为自变量横坐标，以幅值An或相角n的图称为频谱图

An－f为幅频图,An代表信号中频率为nf0的分量的幅值

n－f为相频图，

n代表信号中频率为nf0

的分量的初相角频谱构成信号x(t)中各频率分量的集合，它完整地表示信号的频率结构.由于n是整数序列，相邻频率的间隔Δf＝1/T即各频率成分都是f0的整数倍，因而谱线是离散的.我们把f0称为基频。把nf0称为n倍频，把n倍频成分Ansin(2πf0t+φn)称为n次协波分量。1/13/202311郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱傅立叶级数的物理意义及离散频谱1/13/202312郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱1/13/202313郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱周期信号傅立叶级数的复指数展开形式复指数函数的特点它的导数和积分与它自身成正比它的几何意义为复平面上的一个旋转矢量线性定常系统对复指数输入的响应也是复指数复指数函数表示将欧拉公式代入傅立叶级数展开式中1/13/202314郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱周期信号的复指数展开复指数函数表示令：(2)合写为：1/13/202315郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱周期信号的复指数展开复指数函数表示系数计算方法之一：先计算，再通过公式计算系数计算方法之二：直接计算因，故，欧拉公式1/13/202316郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱周期信号的复指数展开和可统一写为：一般为复数，且完全由周期信号所确定。在式(2)中是简谐信号的复数表示。所以在周期信号展开的相互叠加的简谐信号中，综合反映了第k次协波的幅值及相位信息。而在式(1)中看到的是周期信号的傅立叶级数实数形式的展开式，其频谱由An和两实数决定；而式(2)是周期信号傅立叶级数复数形式的展开式，为此，我们将前者称为实频谱，后者称为复频谱。1/13/202317郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱周期信号的复指数展开复指数函数表示例：余弦、正弦函数的实、虚部频谱图故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称正弦函数只有虚频谱图，与纵轴奇对称一般周期函数的复频谱，实频谱总是偶对称的，其虚频谱总是奇对称的。1/13/202318郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱周期信号的复指数展开余弦、正弦函数的实、虚部频谱图1)t(xt0nC0fnA0f1nRCf21021nIC0fnRC0f0f2121nIC0fnC)t(xt010fnA1实频图虚频图双边频谱图单边频谱图1/13/202319郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱复指数展开系数的物理含义完全由周期信号决定,一般为复数，相对前面级数展开得到的实频谱，称为复频谱模表示了k次谐波的幅值大小相位表示了k次谐波的相位1/13/202320郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅立叶级数与离散频谱周期函数频谱的特点偶的周期信号的傅立叶展开只有直流项和余弦项，没有正弦项奇的周期函数的傅立叶展开只有正弦项，没有余弦项和直流项周期信号的频谱是离散的，频谱间隔Δf=1/T.每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，不存在非整倍数的频率分量各频率分量的谱线高度与对应谐波的振幅成正比，随阶数的增大具有收敛性，常见的周期信号其谐波幅度随协波次数的增高而减小，所以在频谱分析中一般忽略高次谐波。1/13/202321郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅里叶变换与连续频谱非周期信号与傅立叶变换总体思路

周期为T的信号其频谱是离散。当的周期T趋于无穷大时，则该信号成为非周期信号。周期信号频谱谱线的频率间隔，当周期T趋于无穷大时，其频率间隔趋于无穷小，所以非周期信号的频谱是连续的。1/13/202322郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理非周期信号与傅立叶变换傅立叶变换周期信号，在区间的傅里叶级数1/13/202323郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅里叶变换与连续频谱非周期信号与傅立叶变换

将系数代入公式当时，让有所以，或写成1/13/202324郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅里叶变换与连续频谱非周期信号与傅立叶变换上述变换也可写成傅立叶变换对的表示注意：用和用的一些差别：表示f(t)的傅立叶变换为X(f)表示X(f)的傅立叶逆变换为f(t)1/13/202325郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅里叶变换与连续频谱傅里叶变换的物理意义及连续频谱以上傅立叶变换存在的条件是积分存在，这个条件对于一般工程的测试信号都能满足。F(ω)的模表示f(t)在不同频率下的幅值分布密度函数，而它的相位表示不同频率处的初始相位。1/13/202326郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅里叶变换与连续频谱傅里叶变换的物理意义及连续频谱在整个时间轴上的非周期信号，是由频率f

的谐波通过积分叠加得到的，其中频率是从-连续到+.而频率为f的谐波的振幅和初相位由确定。能真实反映不同频率谐波的振幅和初相位的变化。称为的连续频谱。一般是实变量f的复函数，||为信号的连续幅值谱，为信号的连续相位谱。1/13/202327郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅里叶变换与连续频谱傅里叶变换的物理意义及连续频谱非周期信号的幅值谱||和周期信号的幅值谱很相似，但两者是有差别的的量纲与信号幅值的量纲一样；而||的量纲与信号幅值的量纲不一样，它是单位频宽上的幅值通常，我们称由信号x(t)

求其频谱X(f)的过程为对信号作频谱分析。1/13/202328郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅里叶变换与连续频谱傅里叶变换及其性质线性性质若，则(齐次性)(叠加性)若，，则或时移性质若，则频移性质若，则时间展缩性质1/13/202329郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅里叶变换与连续频谱傅里叶变换及其性质设，a为不等于零常数，则1/2X(f/2)/2-/21/13/202330郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅里叶变换与连续频谱傅里叶变换及其性质时间微分性质若，则时间积分性质若，则卷积定理若，则卷积运算：1/13/202331郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅里叶变换与连续频谱典型函数的傅氏变换矩形窗函数的频谱1/13/202332郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅里叶变换与连续频谱典型函数的傅氏变换单位脉冲函数的频谱δ函数的定义在e时间内激发一个矩形脉冲(或三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等)，其面积为1。当时，的极限就称为单位脉冲函数，记作。从函数值极限角度看从面积角度看

1/13/202333郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－67781792机械信号频域处理傅里叶变换与连续频谱典型函数的傅氏变换单位脉冲函数的频谱δ函数的筛选性质搬移特性：δ函数的频谱一个函数与单位冲激函数的卷积，等价于把该函数平移到单位冲激函数的冲激点位置。1/13/202334郑州大学机械工程学院振动工程研究所Tel:0371－