离散时间傅立叶变换

第三章离散时间傅立叶变换离散时间的傅立叶变换DTFT定理离散时间序列的能量谱密度离散时间系统的频响连续时间傅立叶变换(CTFT)定义 连续时间信号xa(t)的频域表示由CTFT给出：Xa(jΩ)：傅立叶谱，连续时间的信号谱逆变换：傅立叶积分幅度谱和相位谱幅度谱相位谱可进行CTFT的条件狄里赫莱条件：在任何一个有限区间里，信号具有有限个不连续点，且极值数目有限信号绝对可积P94例3.1离散时间傅立叶变换序列x[n]的DTFTX(ejω)定义如下：例3.5收敛性：对于绝大多数常用的离散时间序列，它们的FT可以用收敛的几何级数形式表示，如果收敛，级数的累加则可表示为简单的形式DTFT的特点X(ejω)是ω的连续函数X(ejω)是周期为2π的周期函数如何证明一个周期函数？逆变换正变换：序列连续函数逆变换：连续函数

序列积分区域可以选任意一个2π的区域理解：分析与综合正变换：分析式---分析出在原始信号中存在多少复指数信号成分逆变换：综合式---从任意信号的复指数信号分量中综合出原信号符号表示：正变换：F{x[n]}逆变换：F-1{X(ejω)}基本性质傅立叶变换的复数形式极坐标形式傅立叶谱幅度谱相位谱幅度函数相位函数坐标形式转换两种傅立叶变换的坐标形式转换：相位谱的不唯一θ(ω)可以用θ(ω)+2πk代替为了唯一确定相位谱,定义主值区间：

-π<=θ(ω)<=π对称关系对称性的FT性质实序列实序列的DTFT是共轭对称函数即：一个实序列的DTFT的实部Xre(ejω)是ω的偶函数一个实序列的DTFT的虚部Xim(ejω)是ω的奇函数|X(e-jω)|=|X(ejω)|，是偶函数tan(-θ)=-tan(θ)，是奇函数对于实信号有：|X(ejω)|2=X(ejω)X(e-jω)总结：P104表3.2DTFT定理卷积定理要计算两个序列的线性卷积，有如下两个方法：直接利用卷积公式求解利用DTFT：分别计算出两个序列的DTFT结果相乘乘积进行DTFT逆变换在某些应用场合，常利用DTFT的方法进行卷积计算调制定理两个序列乘积的DTFT与原乘积的关系为什么称为加窗定理？利用双边带的IIR线性相位滤波器来生成FIR线性相位滤波器帕斯瓦尔关系两个复序列的相应样本的乘积的累加和，可以用它们的DTFT的乘积的积分来表示与能量的计算相关离散时间序列的能量密度谱由帕斯瓦尔关系可知，有限能量序列g[n]的总能量为：则定于能量密度谱为：带限离散时间信号离散时间信号的频谱是关于ω的周期为2π的函数带限信号：频谱被限制在[-π,π]中的一部分理想的带限信号不存在，实际中只能保证在带限之外的能量很小低通信号：-π<-ωp<=ω<=ωp<π只取正频率范围的一半：ωp称为带宽带限离散时间信号高通信号：ωp

<=|ω|<π

此时带宽为：π-ωp

带通信号：0<ωL<=|ω|<=ωH<π

此时带宽为：ωH-ωL窄带信号：带宽远小于(ωH+ωL)/2用matlab计算DTFTfreqz：数字滤波器的频率响应abs：取模angle：取相位unwrap：展开相位角P115例3.16LTI离散时间系统的频率响应特征函数：特定的输入信号，输出信号由输入信号乘以复常数得到若输入信号为复指数序列x[n]=ejωn

则输出：y[n]=H(ejω)ejωn

此时：观察：输出包含了与输入相同频率的复正弦序列，并乘以权重H(ejω)

H(ejω)正好是冲激响应h[n]的DTFTH(ejω)称为LTI离散时间系统的频率响应频率响应H(ejω)一般也是周期为2π的函数也可按照实部/虚部或极坐标的方式表示在极坐标方式下：幅度响应和相位响应增益函数：注意事项幅度函数和相位函数是实函数频率响应函数是复函数幅度函数是偶函数，相位函数是奇函数LTI离散时间系统的频域特征若Y(ejω)和X(ejω)分别表示输出和输入序列的FT，则根据卷积定理有：

Y(ejω)=H(ejω)X(ejω)系统的频率响应可表示为输出的FT与输入的FT的比值输出不可能含有输入和系统中没有出现过的频率的正弦分量若有新的频率分量产生，则系统或是非线性的，或是时变的用FT计算卷积和步骤：分别求须卷积序列的DTFT将两傅立叶谱相乘，得到卷积结果的DTFT做傅立叶逆变换P118例3.17LTI离散时间系统频率响应FIR，由输入输出的卷积公式推出系统频率响应H(ejω)的表达式为：IIR，由线性常系数差分方程来描述，推出系统频率响应H(ejω)的表达式为：用matlab计算频率响应freqz(h,w)：计算指定冲激响应h在一系列给定频率点w上的频率响应值例3.18稳态响应和瞬态响应因果LTI系统的齐次解：

yc[n]=α1λ1n+α2λ2n+…+αNλNn

当n趋于无穷时齐次解衰减为0

齐次解对应的是瞬态响应因果稳定LTI系统的特解： 当输入