椭圆及其标准方程(一)

2.2.1椭圆及其标准方程(一)1问题:(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢?(2)平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又是什么呢？数学实验同学们一起观察以下操作：在图板上，将一根无弹性细绳的两端用图钉固定，一支铅笔的笔尖沿细绳运动，能得到什么图形？2反思（1）在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？3结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该如何定义椭圆？它应该包含几个要素？（1）在平面内（2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a（3）定长2a﹥|F1F2|

注：所成曲线是椭圆所成曲线是线段没有图形反思：F1F2M4平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：一、椭圆的定义F1F2M5二、如何得到椭圆曲线的方程?

问题1:(1)求曲线方程的基本步骤？(2)如何建立适当的坐标系？OxyF1F2M方案一OxyF1F2M方案二（1）建系设点;（2）写出点集；（3）列出方程；（4）化简方程；（5）证明（可省略）。6(2)如何建立适当的坐标系？oxyF1F2M方案一oxyF1F2M方案二oxyF1F2M方案三oxyF1F2M方案四7(1)建系设点:(2)写出点集:(3)列出方程:(4)化简方程:问题2:求曲线方程的步骤是什么?(以方案一为例)OxyF1F2M方案一以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系，设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。8OxyF1F2M如图所示:F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a(2a>2c)的动点M的轨迹方程。解：以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}如何化简?9OxyF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为2a>2c>0，即a>c>0，所以a2-c2>0，(a>b>0)两边同除以a2(a2-c2)得:P那么①式就是10OxyF1F2MOxyF1F2M椭圆的标准方程焦点焦点11OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。12例1、填空：(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________三.例题精析543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：

焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a13(2)已知椭圆的方程为：,则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：__________，焦距等于_________;若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_________，则∆F1PF2的周长为___________21(0,-1)、(0,1)2PF1F2|PF1|+|PF2|=2a14例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且椭圆经过点P。15(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：2a=10，2c=8即a=5，c=4故b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：16(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点.解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义知所以又因为,所以因此,所求椭圆的标准方程为17(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点.解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为①②联立①②,因此,所求椭圆的标准方程为求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程.又∵焦点的坐标为181.判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标答：在X轴。（-3，0）和（3，0）答：在y轴。（0，-5）和（0，5）答：在y轴。（0，-1）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。四.课堂练习19（2）求适合下列条件的椭圆的标准方程：

①a=4，b=1，焦点在x轴上；②，焦点在Y轴上；

③a+b=10，。2.（1）动点P到两个定点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为（）

A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2D、不能确定B20分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F