专题11 四边形问题（第07期）-2017年中考数学试题分项版解析汇编（解析版）

P一、选择题1．（2017四川省广元市）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD=；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】C．【解析】设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有，即b=a，∴tan∠CAD===．故②不正确；正确的有①③④，故选C．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．解直角三角形．2．（2017四川省攀枝花市）如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H．若，则=（）A．6B．4C．3D．2【答案】A．【解析】DF=，∴S△ADF=AD•DF=6．故选A．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．综合题．3．（2017四川省阿坝州）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．11【答案】C．【解析】试题分析：360°÷36°=10，所以这个正多边形是正十边形．故选C．考点：多边形内角与外角．4．（2017山东省莱芜市）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（）A．12B．13C．14D．15【答案】C．【解析】试题分析：根据题意，得：（n﹣2）•180=360°×2+180°，解得：n=7．则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为=14，故选C．考点：1．多边形内角与外角；2．多边形的对角线．5．（2017山东省莱芜市）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】选A．考点：1．轴对称﹣最短路线问题；2．菱形的性质；3．动点型；4．最值问题；5．和差倍分．6．（2017江苏省镇江市）点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE=DF，点P在边AB上，AP：PB=1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1、S2的两部分，将△CDF分成面积为S3、S4的两部分（如图），下列四个等式：①②③④其中成立的有（）A．①②④B．②③C．②③④D．③④【答案】B．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质；3．压轴题．7．（2017贵州省铜仁市）一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．11【答案】C．【解析】试题分析：180°﹣144°=36°，360°÷36°=10，则这个多边形的边数是10．故选C．考点：多边形内角与外角．学@科网8．（2017贵州省黔南州）如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．B．C．9D．【答案】A．【解析】考点：1．轴对称﹣最短路线问题；2．正方形的性质；3．动点型；4．最值问题．9．（2017贵州省黔南州）如果一个正多边形的内角和等于外角和2倍，则这个正多边形是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正八边形【答案】C．【解析】试题分析：设这个多边形的边数为n．由题意（n﹣2）•180°=2×360°，解得n=6，答：这个多边形是正六边形．故选C．考点：多边形内角与外角．10．（2017贵州省黔西南州）四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，则下列结论中错误的是（）A．∠A=∠CB．AD∥BCC．∠A=∠BD．对角线互相平分【答案】C．【解析】考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．11．（2017辽宁省盘锦市）如图，双曲线（x＜0）经过▱ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则▱OABC的面积是（）A．B．C．3D．6【答案】C．【解析】试题分析：∵点D为▱ABCD的对角线交点，双曲线（x＜0）经过点D，AC⊥y轴，∴S平行四边形ABCO=4S△COD=4××|﹣|=3．故选C．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．平行四边形的性质．12．（2017辽宁省阜新市）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，若∠A=55°，∠ABD=45°，则∠A′BC的大小为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=55°，∴∠ABC=180°﹣∠A=125°，∵∠ABD=45°，∴∠ABD=∠A′BD=45°，∴∠ABA′=90°，则∠A′BC=∠ABC﹣∠ABA′=35°，故选B．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．平行四边形的性质．13．（2017四川省资阳市）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿直线AE折叠，使点D落在点F处，则线段CF的长度是（）A．1B．C．D．【答案】C．【解析】∵∠AFE=∠EMF=90°，∴△AFE∽△EMF，∴，即，∴MF=，CF=2MF=．故选C．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．14．（2017四川省遂宁市）顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形【答案】B．【解析】试题分析：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选B．考点：中点四边形．15．（2017四川省雅安市）如图，四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AB⊥BC，BC⊥CD，E为AD的中点，F为线段BE上的点，且FE=BE，则点F到边CD的距离是（）A．3B．C．4D．【答案】C．【解析】考点：1．矩形的判定与性质；2．三角形中位线；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．16．（2017山东省济南市）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BF的长是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．17．（2017山东省聊城市）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=ACB．AD=BDC．BE⊥ACD．BE平分∠ABC【答案】D．【解析】考点：菱形的判定．18．（2017辽宁省朝阳市）如图，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积（）A．不变B．由大变小C．由小变大D．先由小变大，后由大变小【答案】A．【解析】试题分析：图中阴影部分的面积不变，理由是：不论咋旋转，阴影部分的面积都等于S扇形AOD﹣S△AOD，故选A．学@科#网考点：1．扇形面积的计算；2．正方形的性质；3．旋转的性质．19．（2017辽宁省朝阳市）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH=DE；②DP=DG；③DG+DF=DP；④DP•DE=DH•DC，其中一定正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④【答案】D．【解析】故选D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．旋转的性质．20．（2017辽宁省鞍山市）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF=DC；③S△DCF=4S△DEF；④tan∠CAD=．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A．【解析】△DEF，故③正确；④设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有，即b=a，∴tan∠CAD==．故④正确；故选A．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．解直角三角形；4．综合题．二、填空题21．（2017四川省凉山州）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC．AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F．则四边形AFBD的面积为．【答案】12．【解析】试题分析：∵AF∥BC，∴∠AFC=∠FCD，在△AEF与△DEC中，∵∠AFCA=∠FCD，∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=DC，∵BD=DC，∴AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∴S四边形AFBD=2S△ABD，又∵BD=DC，∴S△ABC=2S△ABD，∴S四边形AFBD=S△ABC，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，∴S△ABC=AB•AC=×4×6=12，∴S四边形AFBD=12．故答案为：12．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．22．（2017四川省巴中市）如图，E是▱ABCD边BC上一点，且AB=BE，连结AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，∠F=70°，则∠D=度．【答案】40．【解析】考点：平行四边形的性质．23．（2017山东省莱芜市）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD=1，AB=CF，则AE=．【答案】．【解析】AE＞0，∴AE=．故答案为：．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的性质．24．（2017贵州省铜仁市）已知菱形的两条对角线的长分别是5cm，6cm，则菱形的面积是cm2．【答案】15．【解析】试题分析：根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=ab=×5cm×6cm=15cm2，故答案为：15．考点：菱形的性质．25．（2017贵州省黔西南州）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是cm．【答案】．【解析】试题分析：如图：考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质．26．（2017辽宁省抚顺市）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=3时，线段BC的长为．【答案】3．【解析】试题分析：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD=3．故答案为：3．考点：菱形的判定与性质．27．（2017辽宁省抚顺市）如图，在矩形ABCD中，CD=2，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交AB边于点E，且E为AB中点，则图中阴影部分的面积为．【答案】．【解析】试题分析：由题意可知：AB=CD=2，∴EB=AB=1，∴∠ECB=30°，∴∠DCE=60°，∴扇形CDE的面积为：=，∵EB=1，CE=2，∴由勾股定理可知：BC=，∴AD=BC=，梯形EADC的面积为：（AE+CD）•AD==，∴阴影部分的面积为：.故答案为：．考点：1．扇形面积的计算；2．矩形的性质．28．（2017辽宁省盘锦市）对于▱ABCD，从以下五个关系式中任取一个作为条件：①AB=BC；②∠BAD=90°；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤∠DAB=∠ABC，能判定▱ABCD是矩形的概率是．【答案】．【解析】试题分析：由题意可知添加②③⑤可以判断平行四边形是矩形，∴能判定▱ABCD是矩形的概率是，故答案为：．考点：1．概率公式；2．矩形的判定．29．（2017辽宁省锦州市）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，连接DE交BC于点F，则CF：AD=．【答案】3：5．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．30．（2017辽宁省锦州市）如图，正方形ABCD中，AB=2，E是CD中点，将正方形ABCD沿AM折叠，使点B的对应点F落在AE上，延长MF交CD于点N，则DN的长为．【答案】．【解析】考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．综合题．31．（2017黑龙江省大庆市）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为．【答案】．【解析】试题分析：连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，在Rt△OPN中，ON2+PN2=OP2，即，解得a=2．故答案为：2．考点：1．正方形的性质；2．勾股定理；3．圆的认识．32．（2017四川省资阳市）边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABC=________度．【答案】24°．【解析】考点：1．多边形内角与外角；2．等腰三角形的性质．33．（2017四川省遂宁市）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为；③线段DG的最小值为；④当线段DG最小时，△BCG的面积.其中正确的命题有．（填序号）【答案】①②③．【解析】学@科%网试题分析：∵E在AD边上（不与A、D重合），点F在DC边上（不与D、C重合）．又∵点E、F分别同时从A、D出发以相同的速度运动，∴AE=DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠BAE=∠D=90°，在△BAE和△ADF中，∵AE=DE，∠BAE=∠ADF=90°，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠BAE=∠DAF，∵∠DAF+∠BAP=90°，∴∠BAE+∠BAP=90°，即∠APB=90°，∴AF⊥BE．故①正确；﹣2，故③正确；过点G作BC的垂线与AD相交于点M，与BC相交于N，∴GM∥PA，∴△DMG∽△DAP，∴，∴GM=，∴△BCG的高GN=4﹣GM=，∴S△BCG=×4×=，故④错误，∴正确的有①②③，故答案为：①②③．考点：1．四边形综合题；2．动点型；3．最值问题；4．压轴题．34．（2017辽宁省朝阳市）如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上的一个动点，点D（0，2）在y轴上，当CP+DP最短时，点P的坐标为．【答案】（，）．【解析】试题分析：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．在Rt△OBK中，OB===，∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=，设OA=OB=x，在Rt△ABK中，∵AB2=AK2+BK2，∴x2=（8﹣x）2+42，∴x=5，∴A（5，0），考点：1．轴对称﹣最短路线问题；2．坐标与图形性质；3．菱形的性质；4．动点型；5．最值问题；6．综合题．35．（2017辽宁省沈阳市）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是．【答案】．【解析】试题分析：连接AG，由旋转变换的性质可知，∠ABG=∠CBE，BA=BG=5，BC=BE，由勾股定理得，CG==4，∴DG=DC﹣CG=1，则AG==，∵，∠ABG=∠CBE，∴△ABG∽△CBE，∴，解得，CE=，故答案为：．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．相似三角形的判定与性质．三、解答题36．（2017四川省凉山州）如右图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD延长线上的点，且BE=DF，连接EF交AD．BC于点G、H．求证：FG=EH．【答案】证明见解析．【解析】考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．37．（2017四川省巴中市）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AF=12，BE=6，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴EB⊥AB，∵EF⊥AF，AE平分∠FAH，∴EF=BE=6，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=90°，∴∠DAF+∠AFD=90°，又∵AF⊥FG，∴∠AFG=90°，∴∠AFD+∠CFE=90°，∴∠DAF=∠CFE，又∵∠D=∠C，∴△ADF∽△FCE，∴=，又∵AF=12，EF=6，∴==．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质；3．切线的判定与性质．38．（2017四川省巴中市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB=4，BC=8，求菱形AECF的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）20．【解析】∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF．又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF=x，∵EF是AC的垂直平分线，∴AF=CF=x，BF=8﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，∴AF=5，∴菱形AECF的周长为20．考点：1．矩形的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．菱形的判定与性质．39．（2017四川省广元市）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．求证：BC=BF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：首先由平行四边形的性质可得AD=BC，再由全等三角形的判定定理AAS可证明△ADE≌△BFE由此可得AD=BF，进而可证明BC=BF．试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠1=∠2．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．在△ADE与△BFE中，∵∠DEA=∠FEB，∠1=∠2，AE=BE，∴△ADE≌△BFE（AAS），∴AD=BF，∴BC=BF．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．40．（2017四川省攀枝花市）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F，AE，CF分别与BD交于点G和H，且AB=．（1）若tan∠ABE=2，求CF的长；（2）求证：BG=DH．【答案】（1）4；（2）证明见解析．【解析】勾股定理可得（2x）2+x2=（）2，解得x=2或x=﹣2（舍去），∴CF=4；学#科网（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠GAD=∠HCB=90°，∴△AGD≌△CHB，∴BH=DG，∴BG=DH．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．解直角三角形．41．（2017江苏省镇江市）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（2）解：∵BN平分∠DBC，∴∠DBN=∠CBN，∵EC∥DB，∴∠CNB=∠DBN，∴∠CNB=∠CBN，∴CN=BC=DE=2．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．多边形与平行四边形．42．（2017江苏省镇江市）【回顾】如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于．【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°=，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75°=，请你写出小明或小丽推出sin75°=的具体说理过程．【应用】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）．（1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；（2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．【答案】【回顾】3；【探究】答案见解析；【应用】（1）86+25；（2）点G不是AD的中点．【解析】﹣a，BC=b．【回顾】如图1中，作AH⊥BC．在Rt△ABH中，∵∠B=30°，AB=3，∴AH=AB•sin30°=，∴S△ABC=•BC•AH=×4×=3，故答案为：3．探究：如图3中，如图4中，易知四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=75°，∴S四边形EFGH=2S△ABE+2S△ADF+S平行四边形ABCD，∴（a+b）（a+b）═2××a×a+2××b2+b•2a•sin75°，∴sin75°=．应用：（1）作C关于AD的对称点H，CH交AD于J，连接BH，EH．在Rt△DCJ中，JC=CD•sin75°=，∴CH=2CJ=，在Rt△BHC中，BH2=BC2+CH2=36+=86+25，∵EC=EH，∴EB+EC=EB+EH，在△EBH中，BE+EH≥BH，∴BE+EC的最小值为BH，∴t=BE+CE，t2的最小值为BH2，即为86+25．（2）结论：点G不是AD的中点．理由：作CJ⊥AD于J，DH⊥CG于H．不妨设AG=GD=5，∵CD=5，∴DC=DG，∵DH⊥CG，∴GH=CH=3，在Rt△CDH中，DH===4，∵S△DGC=•CG•DH=•DG•CJ，∴CJ=，∴sin∠CDJ=，∵∠CDJ=75°，∴与sin75°=矛盾，∴假设不成立，∴点G不是AD的中点．考点：1．四边形综合题；2．阅读型；3．最值问题；4．操作型；5．探究型；6．压轴题．43．（2017湖南省娄底市）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．（1）求证：△ABG≌△CDE；（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）矩形；（3）．【解析】试题解析：（1）∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，∴∠BAG=∠BAD，∠DCE=∠DCB，∵▱ABCD中，∠BAD=∠DCB，AB=CD，∴∠BAG=∠DCE，同理可得，∠ABG=∠CDE，在△ABG和△CDE中，∵∠BAG=∠DCE，AB=CD，∠ABG=∠CDE，∴△ABG≌△CDE（ASA）；（2）四边形EFGH是矩形．证明：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB=∠BAD，∠GBA=∠ABC，∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC=180°，∴∠GAB+∠GBA=（∠DAB+∠ABC）=90°，即∠AGB=90°，同理可得，∠DEC=90°，∠AHD=90°=∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；（3）依题意得，∠BAG=∠BAD=30°，∵AB=6，∴BG=AB=3，AG==CE，∵BC=4，∠BCF=∠BCD=30°，∴BF=BC=2，CF=，∴EF=﹣=，GF=3﹣2=1，∴矩形EFGH的面积=EF×GF=．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．探究型．44．（2017贵州省铜仁市）如图，已知点E，F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上的两点，连接AE，CF，请你添加一个条件，使得△ABE≌△CDF，并证明．【答案】证明见解析．【解析】CDF（SAS）．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定；3．开放型．45．（2017辽宁省阜新市）在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，点F，G在直线BC上，且BE=EG，∠AEF=∠BEG．（1）如图1，求证：△ABE≌△FGE；（2）如图2，当∠ABC=120°时，求证：AB=BE+BF；（3）如图3，当∠ABC=90°，点F在线段BC上时，线段AB，BE，BF的数量关系如何？（请直接写出你猜想的结论）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BF+AB=BE．【解析】试题解析：（1）∵BE=EG，∴∠EBG=∠EGB．∵ABCD是菱形，∴∠ABE=∠EBG，∴∠ABE=∠EGB．∵∠AEF=∠BEG，∴∠AEB=∠FEG．在△AEB和△FEG中，∵∠ABE=∠EGB，BE=EG，∠AEB=∠FEG，∴△ABE≌△FGE；学科&网（2）∵△ABE≌△FGE，∴AB=FG．∵∠ABC=120°，∴∠ABE=∠EBG=60°，∵BE=EG，∴△BEG为等边三角形，∴BE=BG，∴AB=BE+BF；（3）BF+AB=BE．理由如下：∵△ABE≌△FGE，∴AB=FG，∴BF+AB=BF+FG=BG．∵∠ABC=90°，∴∠EBG=45°．∵BE=EG，∴∠EGF=∠EBG=45°，∴∠BEG=90°，∴△BEG为等腰直角三角形，∴BG=BF+AB=BE．考点：1．菱形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．探究型；5．和差倍分；6．四边形综合题．46．（2017辽宁省锦州市）已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC于F，连接OD，DF．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF2=DG•OE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】ODC=90°，∴∠DOF=45°，在△OGF中，∠DGF为△OGF的外角，∴∠DGF=∠DOF+∠GFO=45°+∠GFO，∵∠DFO=∠DFG+∠GFO=45°+∠GFO，∴∠DGF=∠DFO，且∠GDF=∠FDO，∴△DGF∽△DFO，∴，即DF•GF=DG•OF，∵OF=OD=OE，∴DF=GF，∴GF2=DG•OE．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．菱形的性质；3．切线的判定与性质．47．（2017黑龙江省大庆市）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】∠DEG，∴BF∥DE，∴四边形BDEF为平行四边形；（2）解：∵∠C=45°，∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，∴BF=BE=BD=，作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：则△BFM是等腰直角三角形，∴FM=BM=BF=1，∴DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF==，即D，F两点间的距离为．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．等腰三角形的性质．48．（2017四川省德阳市）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF与CE相交于点G．（1）证明：ΔCFG≌ΔAEG；（2）若AB＝4，求四边形AGCE的对角线GD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴▱ABCD是菱形，∴∠ADC=∠B=60°，AD=CD，∵AD∥BC，CD⊥AB，∴AF⊥AD，CE⊥CD，∵△CFG≌△AEG，∴AG=CG，∴DG平分∠ADC，∴∠ADG=30°，∵AD=AB=4，∴DG==．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．49．（2017四川省资阳市）在△ABC中，AB=AC＞BC，D是BC上一点，连接AD，作△ADE，使AD=AE，且∠DAE=∠BAC，过点E作EF∥BC交AB于F，连接FC．（1）如图1．①连接BE，求证：△AEB≌△ADC：②若D是线段BC的中点，且AC=6，BC=4，求CF的长；（2）如图2，'若点D在线段BC的延长线上，且四边形CDEF是矩形，当AC=m，BC=n时，求CD的长（用含m，n的代数式表示）．【答案】（1）①证明见解析；②；（2）．【解析】AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，CD=BC=2，∴AD===，∵△ADE∽△ACB，∴，∴ED===，∴FC=ED=．（2）解：∵四边形CDEF是矩形，∴∠CDA+∠ADE=90°，∵∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，∴∠ABC=∠ADE，∴∠ABC+∠CDA=90°，∴∠BAD=∠BCF=90°，∴△FBC∽△DBA，∴，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC+∠BFC=90°，∠ACB+∠ACF=90°，∴∠ACF=∠AFC，∴AF=AC，∴FB=2AC=2m，∴，BD=，∴CD=BD﹣BC=﹣n=．考点：1．四边形综合题；2．相似三角形的判定与性质；3．压轴题．50．（2017四川省遂宁市）如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接AF、CE．求证：AF=CE．【答案】证明见解析．【解析】∴AF=CE．考点：平行四边形的性质．51．（2017四川省雅安市）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若正方形边长为4，AE=，求菱形BEDF的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】试题分析：（1）连接BD交AC于点O，则可证得OE=OF，OD=OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；BEDF=BD•EF=××=8．学￥科网考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定与性质．52．（2017山东省济南市）（1）如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．（2）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）65°．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质可以得到△ADF≌△EBA，再由全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BEA．∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°，∴∠B＝∠AFD＝90°．又∵AD＝AE，∴△ADF≌△EBA，∴AB＝DF．（2）∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°．∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°，∴∠B=25°，∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．考点：1．矩形的性质；2．圆周角定理．53．（2017辽宁省朝阳市）在四边形ABCD中，有下列条件：①ABCD；②ADBC；③AC=BD；④AC⊥BD．（1）从中任选一个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是．（2）从中任选两个作为已知条件，请用画树状图或列表的方法表示能判定四边形ABCD是矩形的概率，并判断能判定四边形ABCD是矩形和是菱形的概率是否相等？【答案】（1）；（2）相等．【解析】判定四边形ABCD是菱形的概率==，∴判断能判定四边形ABCD是矩形和是菱形的概率相等．考点：1．列表法与树状图法；2．平行四边形的判定与性质；3．菱形的判定；4．矩形的判定．54．（2017辽宁省沈阳市）如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）∠BEF=∠BFE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质．55．（2017辽宁省沈阳市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8），点C的坐标为（﹣，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向中点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同