第十一章第五节

预备知识概念的引入概念与性质小结思考题作业对坐标的曲面积分的计算法两类曲面积分之间的联系surfaceintegral第五节对坐标的曲面积分第十章曲线积分与曲面积分1曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧1.有向曲面通常光滑曲面都有两侧.

如流体从曲面的这一侧流向另一侧的流量问题等.(假设曲面是光滑的)对坐标的曲面积分一、预备知识2规定(1)双侧曲面2.曲面的分类法向量的方向来区分曲面的两侧.对坐标的曲面积分3(2)单侧曲面----莫比乌斯(mobius)带.不通过边界可以这在双侧曲面上是不能实现的.决定了侧的曲面称为小毛虫在莫比乌斯带上,爬到任何一点去.有向曲面.对坐标的曲面积分mobius(1790--1868)19世纪德国数学家43.有向曲面在坐标面上的投影设Σ是有向曲面.假定有相同的符号.

在有向曲面取一小块对坐标的曲面积分写出来??5流向曲面一侧的流量.流量实例(为平面a的单位法向量)(斜柱体体积)(1)流速场为常向量有向平面区域

a,求单位时间流过a的流体的质量(假定密度为1).对坐标的曲面积分二、概念的引入6(2)

设稳定流动的不可压缩流体函数

流体的密度与速度均不随时间而变化(假定密度为1)速度场:当不是常量,曲面求在单位时间内流向指定侧的流体的质量是速度场中的一片有向曲面,对坐标的曲面积分7

分割法向量为对坐标的曲面积分取近似高底),cos(||iiinvvrrr求和8取极限对坐标的曲面积分91.定义三、概念与性质对坐标的曲面积分10被积函数积分曲面存在,则称此极限为(第二类曲面积分).如曲面为封闭曲面:对坐标的曲面积分112.存在条件对坐标的曲面积分存在.在有向光滑连续,对坐标的曲面积分123.组合形式4.物理意义流向Σ指定侧的流量:有向曲面元向量的形式对坐标的曲面积分)dd,dd,dd(sdyxxzzy=r135.性质(1)(2)(3)对坐标的曲面积分当曲面Σ(4)母线平行于z轴的柱面时,表示Σ相反的一侧.也有类似的结果,,的曲面积分性质对坐标zxyz14对坐标的曲面积分上侧,四、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面Σ是由的曲面Σ在xoy面上的投影区域为函数具有一阶连续偏导数,被积函数r(x,y,z)在Σ上连续.15Σ

取上侧对坐标的曲面积分xyxyis)()(sdd=\16对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的注侧.对坐标的曲面积分17计算对坐标的曲面积分时:认定对哪两个坐标的积分,将曲面Σ表为这两个变量的函数,并确定Σ的投影域.(2)将Σ

的方程代入被积函数,化为投影域上的二重积分.(3)根据Σ的侧(法向量的方向)确定二重积分前的正负号.对坐标的曲面积分18解投影域对坐标的曲面积分

例计算其中Σ是球面外侧在的部分.19

例其中Σ是所围成的正方体的表面的Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3解三个坐标面与平面外侧.对坐标的曲面积分Σ1投影域均为:0≤y≤a,0≤z≤a,20设有向曲面Σ是由方程给出,五、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分Σ在xoy是由方程面上投影区域为不论哪一侧都成立.21向量形式有向曲面元对坐标的曲面积分22解

例下侧.对坐标的曲面积分23对坐标的曲面积分由对称性24

例其中Σ解法一直接用对坐标的曲面积分计算法.在第一卦限部分的上侧.对坐标的曲面积分òò-+--1010d)222(dxyxyxx25法二利用两类曲面积分的联系计算.Σ取上侧,.对坐标的曲面积分26若分片光滑的闭曲面Σ0其中注补充x的偶函数x的奇函数曲面Σ不封闭也可以.取外侧(内侧仍成立),关于yoz平面对称,对坐标的曲面积分27

例其中Σ:下侧.关于zox面对称,解关于yoz面对称,对坐标的曲面积分

原式=28解对坐标的曲面积分求练习,)0(围成立体表面的外侧>r29对坐标的曲面积分30关于曲面侧的性质对坐标的曲面积分六、小结对坐标的曲面积分的计算对坐标的曲面积分的概念四步:分割、取近似、求和、取极限思想:化为二重积分计算;对坐标的曲面积分的物理意义注意:“一投,二代,三定号”对坐标的