第三章 矩阵和向量的应用

第三章矩阵和向量的应用向量空间一、向量空间及其子空间1.定义：设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法及数乘两种运算封闭，即：则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。例如：2.子空间：W、V为向量空间，若WV，则称W是V的子空间。如都是的子空间。例：只需证明向量空间的基与维数定义：满足基中所含向量个数r称为向量空间的维数。基为若向量空间的基为向量在基下的坐标定义：设是向量空间V的基，注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？）2.向量空间的基不惟一,因此,向量在不同基下的坐标也不一样。你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？详见参考书第59页。3.向量在一组基下的坐标如何求？一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。线性方程组一、齐次线性方程组称为齐次线性方程组。系数矩阵方程组的矩阵形式齐次线性方程组解的性质显然是方程组的解；称为零解。若非零向量是方程组的解，则称为非零解，也称为非零解向量。性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：性质2：令则V构成一个向量空间。称为方程组的解空间。若齐次线性方程组的解空间存在一组基则方程组的全部解就是这称为方程组的通解。由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。定义：若齐次方程组的有限个解满足：则称也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是基础解系的线性组合，即为：齐次线性方程组基础解系的求法1.行最简形矩阵：设r(A)=r<n,且不妨设A中最左上角的r阶子式不为零。则经有限次行初等变换，矩阵A化为：显然：行最简形为：真未知量自由未知量由自由未知量惟一确定从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都等于n-r(A).综上有：必须牢记：基础解系所含向量的个数为

未知数个数减系数矩阵的秩。推论1：对齐次线性方程组，有若r(A)=n则方程组有惟一零解;若r(A)=r<n，则方程组有无数多解，其通解为例1：求方程组的通解解：同解方程组为基础解系为通解为例2：求方程组的通解同解方程组为基础解系为：Ex:推论2：n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。二、非齐次线性方程组系数矩阵方程组的矩阵形式非齐次方程组的导出组（1）非齐次线性方程组的有解判定引进向量方程组的向量方程方程组（1）有解非齐次线性方程组的解法1.非齐次线性方程组解的性质性质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解。性质2：非齐次方程组（1）的一个解与其导出组的一个解的和是非齐次方程组（1）的解。2.非齐次线性方程组的通解则非齐次方程组（1）的通解为定理：推论：通解为例1：求解方程组有解同解方程组为所以基础解系为通解为例2：求方程组的通解同解方程组为有解基础解系为：非齐次方程组的求解步骤如何确定？注意什么？含参数的方程组在求解方程组之前，要先确定参数值。——这是准则。而参数值的确定，要依据有解的条件即：一般而言，有两种方法确定参数值。一种是行列式法，另一种是初等变换法。补充不再是含参数的方程组了。不再是含参数的方程组了。问题：此题能用行列式法求解吗？不能！两个关于方程组的问题：由题设，基础解系只含一个解向量，可取为（详见参考书第82页。）（详见参考书第82页。）向量组的正交性一、向量的内积：1.定义1：设有向量2.向量的单位化二、向量的夹角：自学。三、向量的正交性：1.定义2.2.定义3.为正交向量组。也称为单位正交组或标准正交组。3.正交向量组的性质定理:回忆:如何证明一组向量线性无关?证:(i=1,2,···,m