《平面向量的基本定理及坐标表示》同步练习（） 市赛一等奖

《平面向量的基本定理及坐标表示》同步练习一、选择题1．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为()A．3e1－2e2 B．－3e1－3e2C．3e1＋2e2 D．2e1＋3e2解析：a＋b＋c＝3e1＋2e2.答案：C2．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是()A．(4,8) B．(8,4)C．(－4，－8) D．(－4,8)解析：∵a∥b，a＝(1，－2)，∴存在实数λ，使b＝λa，结合选项可知，b可以是(－4,8)．答案：D3．设向量a＝(m，n)，b＝(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“⊕”为a⊕b＝(ms，nt)．若向量p＝(1,2)，p⊕q＝(－3，－4)，则向量q等于()A．(－3,2) B．(3，－2)C．(－3，－2) D．(－2，－3)解析：设向量q＝(x，y)，p⊕q＝(x,2y)＝(－3，－4)，∴x＝－3，y＝－2，故向量q＝(－3，－2)．答案：C4．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)．若p∥q，则角C的大小为()\f(π,6) \f(2π,3)\f(π,2) \f(π,3)解析：∵p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)且p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b·b＝0，即c2＝a2＋b2，∴角C的大小为eq\f(π,2).答案：C二、填空题5．已知点M(3，－2)，N(－5，－1)，若eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，则点P的坐标是________．解析：令P(x，y)，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－8,1)．∵eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，即(x－3，y＋2)＝eq\f(1,2)(－8,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4,y＋2＝\f(1,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2).))∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)且eq\o(AB,\s\up6(→))与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.解析：由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,6)．又eq\o(AB,\s\up6(→))与a＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，得λ＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)7．若eq\o(OP,\s\up6(→))1＝a，eq\o(OP2,\s\up6(→))＝b，eq\o(P1P,\s\up6(→))＝λeq\o(PP2,\s\up6(→))(λ≠－1)，则用a，b表示eq\o(OP,\s\up6(→))为________．解析：∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋λeq\o(PP2,\s\up6(→))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OP1,\s\up6(→))＋λeq\o(OP2,\s\up6(→))－λeq\o(OP,\s\up6(→))，∴(1＋λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))1＋λeq\o(OP2,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\f(λ,1＋λ)eq\o(OP2,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)a＋eq\f(λ,1＋λ)b.答案：eq\f(1,1＋λ)a＋eq\f(λ,1＋λ)b三、解答题8.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，求m＋n的值．解：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，又eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋λeq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AM,\s\up6(→))＋λeq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1－λ,m)a＋eq\f(λ,n)b.根据平面向量基本定理eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－λ,m)＝\f(1,2),\f(λ,n)＝\f(1,2)))消去λ整理得m＋n＝2.9.已知△ABC的两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN的延长线上取点P，使NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使MQ＝CM，求证：P、A、Q三点共线．证明：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a、eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.由题意可知，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝a＋2eq\o(BN,\s\up6(→))＝a＋2(eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝a＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))－a))＝a＋b－2a＝b－a；eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝b＋2eq\o(CM,\s\up6(→))＝b＋2(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝b＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))－b))＝b＋a－2b＝a－b.显然，eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(AQ,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))共线．又因为eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))有公共起点A.故P、A、Q三点共线．10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，求：(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在二、四象限角平分线上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．解：(1)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(1＋3t,2＋3t)，若点P在x轴上，只需2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若点P在二、四象限角平分线上，则1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－eq\f(1,2)；若点P在第二象限，则需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t＜0，,2＋3t＞0))⇒－eq\f(2,3)＜t＜－eq\f(1,3