2008年普通高等学校招生全国统一考试数学理工

考试结束前★机密2008年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号、考试科目涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其余答案．不可以答在试卷上．一、本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集UR，会合Ax|2≤≤Bx|x1或x4，那么会合x3，AeUB等于（）A．x|2≤x4C．x|2≤x1

B．x|x≤3或x≥4D．x|1≤x≤32．若a20.5，blogπ3，c2π）log2sin，则（5A．abcB．bacC．cabD．bca3．“函数f(x)(xR)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的（）A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件4．若点P到直线x1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线x≥，y10，则x2y5．若实数x，y满足xy≥0z3的最小值是（）x≤，0A．0B．1C．3D．96．已知数列an对随意的p，qN*满足apqapaq，且a26，那么a10等于（）高考教练网A．165B．33C．30D．217．过直线yx上的一点作圆(x5)2(y1)22的两条切线l1，l2，当直线l1，l2对于yx对称时，它们之间的夹角为（）A．30B．45C．60D．908．如图，动点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上．过点P作垂直于平面11111BB1D1D的直线，与正方体表面订交于M，N．设BPx，MNy，则函数yf(x)的图象大概是（）D1C1yyyyA1B1DPNCOxOxOxOxMABC．A．B．D．2008年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．已知(ai)22i，此中i是虚数单位，那么实数a．10．已知向量a与b的夹角为120，且ab4，那么b(2ab)的值为．1n11．若x2睁开式的各项系数之和为32，则n，其睁开式中的常数项x3为．（用数字作答）12．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，此中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，，(64)，f(f(0))y则；4AClimf(1x)f(1)3．（用数字作答）2x0x1BO23456x1高考教练网13．已知函数f(x)x2cosx，对于ππ上的随意x1，x2，有以下条件：2，2①xx；②x2x2；③xx．121212此中能使f(x1)f(x2)恒成立的条件序号是．14．某校数学课外小组在座标纸上，为学校的一块空地设计植树方案以下：第k棵树栽种在点Pk(xk，yk)处，此中x11，y11，当k≥2时，xkxk115Tk1Tk2，55ykyk1Tk1Tk2．55T(a)表示非负实数a的整数部分，比方T(2.6)2，T(0.2)0．按此方案，第6棵树栽种点的坐标应为；第2008棵树栽种点的坐标应为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数f(x)sin2x3sinxsinxπ（0）的最小正周期为π．2（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间2π上的取值范围．0，316．（本小题共14分）如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC．（Ⅰ）求证：PCAB；P（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．ABC高考教练网17．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不一样的岗位服务，每个岗位最罕有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列．18．（本小题共13分）已知函数f(x)2xb，求导函数f(x)，并确立f(x)的单一区间．(x1)219．（本小题共14分）已知菱形ABCD的极点A，C在椭圆x23y24上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当ABC60时，求菱形ABCD面积的最大值．20．（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1(A)：n，a11，a21，，an1．对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小摆列，而后去掉全部为零的项，获得数列T2(B)；又定义S(B)2(b12b2mbm)b12b22bm2．设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak1T2(T1(Ak))(k01，，2，)．（Ⅰ）假如数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S(T1(A))S(A)；（Ⅲ）证明：对于随意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S(Ak1)S(Ak)．高考教练网2008年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）（北京卷）参照答案一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．D2．A3．B4．D5．B6．C7．C8．B二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．110．011．51012．2213．②14．(1，2)(3，402)三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（Ⅰ）f(x)1cos2x3sin2x3sin2x1cos22222sin2xπ1．62由于函数f(x)的最小正周期为π，且0，所以2ππ，解得1．2（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)sin2xπ1．62由于0≤x≤2π3，7πππ所以≤2x≤，666所以1≤sin2xπ≤1，26所以0≤sin2xπ1≤3362，即f(x)的取值范围为0，．2216．（共14分）解法一：P（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD．APBP，

x

12PDAB．AACBC，CDAB．C

DB高考教练网PDCDD，PAB平面PCD．PC平面PCD，EPCAB．AB（Ⅱ）ACBC，APBP，APC≌△BPC．又PCACPCBC

，C．又ACB90，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC．取AP中点E．连接BE，CE．ABBP，BEAP．EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．在△BCE中，BCE90，BC2，BE3AB6，2sinBECBC6BE．3二面角BAPC的大小为arcsin6．P3（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB平面PCD，H平面APB平面PCD．D过C作CHPD，垂足为H．AB平面APB平面PCDPD，CCH平面APB．CH的长即为点C到平面APB的距离．由（Ⅰ）知PCAB，又PCAC，且ABACA，PC平面ABC．CD平面ABC，PCCD．在Rt△PCD中，CD1AB2，PD3PB6，22PCPD2CD22．CHPCCD23．PD3高考教练网点C到平面APB的距离为23．3解法二：（Ⅰ）ACBC，APBP，APC≌△BPC．又PCAC，PCBC．ACBCC，PC平面ABC．AB平面ABC，PCAB．（Ⅱ）如图，以C为原点成立空间直角坐标系Cxyz．则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)．设P(0，0，t)．zPPBAB22，EHyxt2，P(0，0，2)．ABC取AP中点E，连接BE，CE．ACPC，ABBP，CEAP，BEAP．BEC是二面角BAPC的平面角．，，EC，，1)，EB(2，1，1)，E(011)，(01cosBECECEB263．ECEB23二面角BAPC的大小为arccos3．3（Ⅲ）ACBCPC，C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离．如（Ⅱ）成立空间直角坐标系Cxyz．BH2HE，点H的坐标为222．3，，33高考教练网CH23．3点C到平面APB的距离为23．317．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件A331EA，那么P(EA)，C52A4440即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是1．40（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)A441，C52A4410所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)9．1P(E)10（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P(2)C52A331C53A44．4所以P(1)1P(2)3，的分布列是413P18．（共13分）

3144解：f(x)2(x1)2(2xb)2(x1)(x1)42x2b2(x1)32[x(b1)]．(x1)3令f(x)0，得xb1．当b11，即b2时，f(x)的变化状况以下表：高考教练网x(，b1)b1(b11)，(1，)f(x)0当b11，即b2时，f(x)的变化状况以下表：x(，1)(1，b1)b1(b1，)f(x)0所以，当b2时，函数f(x)在(，b1)上单一递减，在(b11)，上单一递加，在(1，)上单一递减．当b2时，函数f(x)在(，1)上单一递减，在(1，b1)上单一递加，在(b1，)上单一递减．当b11，即b2时，f(x)2，所以函数f(x)在(，1)上单一递减，在(1，)x1上单一递减．19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为yx1．由于四边形ABCD为菱形，所以ACBD．于是可设直线AC的方程为yxn．x23y24，26nx3n240．由xn得4xy由于A，C在椭圆上，所以12n2640，解得43n43．33设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，3n3n24，yxn，yxn．则x1x2，x1x2222411所以y1y2n．2所以AC的中点坐标为3nn4，．4高考教练网由四边形ABCD为菱形可知，点3nn在直线yx1上，4，4所以n3n1，解得n2．44所以直线AC的方程为yx2，即xy20．（Ⅱ）由于四边形ABCD为菱形，且ABC60，所以ABBCCA．所以菱形ABCD的面积S32AC．22x2)2y2)23n216AC(y1由（Ⅰ）可得(x12，所以S3(3n216)43n43．433所以当n0时，菱形ABCD的面积获得最大值43．20．（共13分）（Ⅰ）解：A0：5，3，2，T1(A0)：3，4，21，，A1T2(T1(A0))：4，3，21，；T1(A1)：4，3，210，，，A2T2(T1(A1))：4，3，21，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1，a2，，an，则T1(A)为n，a11，a21，，an1，从而S(T1(A))2[n2(a11)3(a21)(n1)(an1)]n2(a11)2(a21)2(an1)2．又S(A)2(a12a2nan)a12a22an2，高考教练网所以S(T1(A))S(A)2[n23(n1)]2(a1a2an)n22(a1a2an)nn(n1)n2n0，故S(T1(A))S(A)．（Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，，an．当存在1≤ij≤n，使得ai≤aj时，互换数列A的第i项与第j项获得数列B，()()2()ai)≤0．则SAiajjaiiaijaj2(ij)(ajSB当存在1≤mn，使得am1