计算机实时控制系统的设计-z平面根轨迹法讲解学习

计算机实时控制系统的设计-Z平面根轨迹法Z平面根轨迹定义为：当系统的某个参数（如开环增益)）由零到无穷大变化时，其闭环特征根的集合。该系统的闭环Z传递函数为闭环系统的特征方程式为

（1.1）将系统的开环Z传递函数写成零极点形式

(1.2)式中和分别为开环零极点数，m为零点数，n为极点数，K为根轨迹增益。根据（1.1）特征方程式，根轨迹特征方程为即

上式可表示为模值方程和相角方程：

（1.3）

及

（1.4）其中（1.4）式决定闭环系统根轨迹的充分必要条件,而(1.3)式主要是确定根轨迹上各点对应的开环增益值.根轨迹法是一种图解法,在已知系统开环传递函数零、极点分布的情况下,研究系统的某个参数变化时,对闭环传递函数极点分布的影响(闭环极点能决定系统的稳定与否。)Z平面上根轨迹的特点：（1）Z平面极点的密集度很高（因为无限大的S左半平面映射到有限的单位圆内），Z平面上2个很接近的极点，对应的系统性能却有较大的差别，因此，要求根轨迹的计算精度较高，如表1.1所示。（2）在S平面中，临界放大系数是由根轨迹与虚轴的交点求得，Z平面的临界放大系数则由根轨迹与单位圆的交点求得。（3）在离散系统中，只考虑闭环极点位置对系统动态性能的影响是不够的，还需考虑零点对动态响应的影响。S平面极点位置Z平面极点位置T=1T=0.1T=0.01T=0.0010.360.0000450.000045∠±139.5º0∠±45º0.9050.3680.368∠±86º0.000045∠±139.5º0.990.9050.905∠±8.6º0.368∠±85º0.9990.990.99∠±0.86º0.905∠±8.6º表1.1Z平面极点的密集度、

2.系统的动态指标和Z域极点位置的关系以二阶系统为例（高阶系统可近似二阶系统）

(1.5)其特征根为其实部和虚部的绝对值分别为：

(1.6)

（1.7）动态指标单位阶跃响应：超调量：上升时间：峰值时间：调节时间（5%误差带）：(1.8)(1.9)(1.10)(1.11)(1.12)设计方法根据性能指标（即、n等）完全可以确定S平面上主导极点位置范围，进而根据

确定Z平面极点位置的范围。在Z平面上，有3条典型轨迹：等ξ线——对数螺旋线，等Re(s)线——同心圆，等Im(s)线——射线所包围的区域，则应满足给定的动态指标要求。（1.13）等ξ线根据超调量σ%指标要求，由式（1.9）式，可确定阻尼比ξ的值。在S平面，阻尼比相同的特征根轨迹是从原点出发的射线，且与负实轴的夹角为等ξ线映射至Z平面，则为对数螺旋线。（1.14）等Re(s)线根据调节时间指标要求，由式（1.12）,可得平面实部绝对值，映射至Z平面,其特征根的模应为：

即为同心圆。等Im(s)线根据峰值时间或上升时间要求，均可求到S平面特征根的虚部（式(1.10)或式（1.11），映射至Z平面，其特征根相角则是通过原点的射线。设计思路根轨迹法实质上是一种闭环极点的配置技术，也即通过反复试凑的办法，设计控制器的结构和参数，使整个闭环系统的主导极点配置在期望的位置上。设计步骤第1步根据给定的时域指标，在Z平面画出期望极点的允许范围第2步设计数字控制器D(z)第3步进行数字仿真验证，检验闭环系统的动态响应第4步在计算机上编程实现D(z)的算法第1步期望极点的允许范围如前分析二阶主导极点范围的方法第2步设计数字控制器D(z)（a）求出组合对象脉冲传递函数，即（b）试探法确定控制器D(z)的结构形式，常用的控制器有相位超前及相位滞后的一阶形式，其脉冲传递函数为其中，zc为实零点

、pc为实极点

（1.15）（1.16）Kc选取若要求数字控制器不影响系统的稳态性能，则即零、极点关系zc>pc：相位超前控制器,又可称为高通滤波器，这时Kc>1Zc<pc：是相位滞后控制器，又可称为低通滤器，这时Kc<1它们与相应的连续控制器的零、极点相对位置是一致的。控制器零、极点分布图示控制器的设计常用方法——零极点对消法用控制器的零极点对消控制对象不希望的极零点，从而使整个闭环系统具有满意的品质注意：不能用D(z)去对消对象在单位圆外、圆上以及接近单位圆的零极点，否则可能产生不稳定现象。第3步进行数字仿真验证即使将希望的闭环极点配置在允许域之内，仍有可能出现系统的动态性能不满足指标要求。这是因为离散系统脉冲传递函数的零点数多于对应的连续系统，因为系统的性能还受零点的影响；所得极点范围是按二阶系统的品质指标近似绘制的。而实际系统经常是高于二阶的，高阶系统的响应尽管主要取决于它的一对主导极点，但其他非主导极点也有一定的影响。设计例子某数字随动系统，被控对象的传递函数是采样周期T=0.2s,试设计一数字控制器,使系统满足下列品质指标:(a)超调量(b)上升时间(c)调节时间(d)静态速度误差系数（1.17）（1）期望的闭环极点允许范围（2）设计数字控制器D(z)（1.18）

令D(z)=1，此时系统的开环传递函数为其中，根轨迹增益

画出闭环根轨迹，系统的闭环根轨迹不能穿过允许域，因而不可能满足动态品质要求。

第1次试探第