量子力学ppt02讲课讲稿

量子力学ppt022.粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1Å。

电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？

“

电子既不是粒子也不是波

”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可以说，“

电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。经典概念中1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;粒子意味着2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。

经典概念中1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。

（2）Born波函数的统计解释几率波电子源感光屏QQOPP我们再看一下电子的衍射实验

结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。

波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。r点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在r点附近的几 率。在电子衍射实验中，照相底片上

据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一 种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为几率幅。 这就是首先由Born提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的基本原理。 假设衍射波波幅用Ψ(r)描述，与经典波相似， 衍射花纹的强度则用|Ψ(r)|2

描述，但意义与经典波不同。 |Ψ(r)|2的意义是代表电子出现在r点附近几率的大小， 确切的说， |Ψ(r)|2ΔxΔyΔz表示在r点处，体积元ΔxΔy Δz 中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对 值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，返

回（三）波函数的性质

在t时刻，r点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ，其中，C是比例系数。根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：

（1）几率和几率密度

在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是：ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=C|Ψ(r,t)|2

称为几率密度。在体积V内，t时刻找到粒子的几率为：W(t)=∫VdW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ

（2） 平方可积由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：

C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,从而得常数C之值为：

C=1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ

这即是要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。若∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞,则C0,这是没有意义的。（3）归一化波函数 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的2倍），则相应的波动能量将为原来的4倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是相同的，这里的C是常数。 因为在t时刻，空间任意两点r1和r2处找到粒子的相对几率之比是：由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即

Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述同一状态可见，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。

归一化常数

若Ψ(r,t)没有归一化，∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常数），则有

∫∞|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1

也就是说，(A)-1/2Ψ(r,t)是归一化的波函数，与Ψ(r,t)描写同一几率波，(A)-1/2称为归一化因子。

注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。若Ψ(r,t)是归一化波函数，那末，exp{iα}Ψ(r,t)也是归一化波函数（其中α是实数），与前者描述同一几率波。§2.1波函数的统计解释

一波函数的统计解释

对物质波的理解，由于受经典概念的影响，曾存在着激烈的争论。这些争论主要有：

1.电子波包｛扩散

部分电子

2.大量电子组成的波｝（误解）

3.M..Born的几率波有关实验：子弹水波光波电子｝双缝衍射子弹：P=P1+P2波：I≠I1+I2电子：｛1。与宏观粒子运动不同。2。电子位置不确定。3。几率正比于强度，即波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。结论：数学表达：归一化：说明：(1)即使要求波函数是归一化的，它仍然有一个位相因子不能确定。(2)有些波函数不能(有限地)归一。例如平面波。此时代表“相对几率密度”。二.自由粒子的波函数一般地，我们用复数形式则自由粒子的平面波

粒子具有波动性，它的运动可用一个波函数来描述。自由粒子，能量，动量是常数，运动方向不变，与之相联系的波频率，波长，传播方向固定，是一个平面波：遮住缝1遮住缝2双缝都打开遮住缝1遮住缝2双缝都打开2.2测不准原理

一.宏观粒子运动状态确定，各种力学量同时具有确定值。但微观粒子的运动从根本上讲不具有这种特点。共轭量二.量子力学中的测量过程海森伯1927年1.海森伯观察实验2.测量过程

被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响不可控制和预测。

三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒子具有波动性的必然结果。

并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上它们就不可能同时具有确定的值§2.3态迭加原理

测不准原理和态迭加原理是量子力学的两个基本原理，反映了微观粒子运动的根本特性，是和量子力学对微观粒子描述的整个数学框架相一致的。

首先我们就应该指出，本节所讲的内容是比较抽象和难于理解和接受的。因为它反映的微观粒子的运动特点是和你们头脑中经典物理图象和思考方式格格不入的。也正因如此，它反映了微观粒子的运动如何与经典物理的图象形成尖锐的矛盾，并反映出它运动的本质特性。一.态及态函数

给出尽管粒子的位置不确定（我们不能要求它确定，这是微观粒子的本质），但它的几率分布是完全确定的，我们在以后还将证明，此时粒子的能量，动量等各种可观测量的观测值及其几率分布也是完全确定的。因此，我们把由描述的粒子的状态称为量子态或简称态（各力学量的值不确定，但它的可能值及其分布几率是确定的），而把称为态函数。

经典物理中，波的迭加只不过是将波幅迭加（波幅代表实际物体的运动等），并在合成波中出现不同频率的波长的子波成分。微观粒子的波动性的迭加性其实质是什么呢？

经典物理中，波函数的最本质的性质是迭加性。对微观粒子的波动性，从电子衍射实验知，其实质也是波的迭加性。二.态迭加原理

|ψ|2=|c1ψ1+c2ψ2|2

=(c1*ψ1*+c2*ψ2*)(c1ψ1+c2ψ2)=|c1ψ1|2+|c2ψ2|2+c1*c2ψ1*ψ2+c1c2*ψ1ψ2*

当然，几率的相干迭加是电子衍射实验所揭示的直接结果。但是，既然微观粒子的波函数是态函数，在这里迭加性就具有更深刻的意义。设ψ1，ψ2

是体系的两个状态，则迭加性表明：

ψ=c1ψ1+c2ψ2

也是体系的可能状态。此时粒子出现的几率是：

量子力学的态迭加原理，导致了粒子各种力学量观测值的不确定性，是由微观粒子的波粒二性所决定的。

态迭加原理是由波的迭加性和波函数完全描述一个微观体系的状态这两个概念的概括。

但是，对于体系的其他力学量，如力学量，如果在ψ下的值是a1,在ψ2

下的值是a2

，则在ψ=c1ψ1+c2ψ2的态，它的值可能是a1,也可能是a2

，而测得a1，a2的相对几率是完全确定的。

态迭加原理的表述：

若ψ1，ψ2是体系的两个可能状态，那么它们的线性迭加ψ=c1ψ1+c2ψ2也是体系的一个可能状态。三.动量的几率分布

在电子衍射实验中，电子在晶体表面反射后，以各种不同的动量运动。动量确定的粒子的状态为：

可以证明，任何波函数都可以看作是不同动量的平面波的迭加：

而在晶体表面反射后的晶电子状态为各种值的状态的迭加。为粒子的动量的相对几率其中：而：因此，和是同一状态的两种不同的描述方法。同样，给定后，完全确定。由此看出：给定后，完全确定；和互为付氏变换。§2.4薛定谔方程

本节我们讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律，即薛定谔方程。

应该明确，薛定谔方程是量子力学的最基本方程，也是量子力学的一个基本假设。我们并不能从一个更基本的假设来推导或证明它。其正确性只能靠实践来检验。我们只是用一个比较简单的办法来引述它。1.薛定谔方程应满足下列条件：a)含的偏微分方程

b)是线性方程c)只含基本常数，不含状态参数。2.自由粒子满足的方程对自由粒子：∴3.力场中运动粒子的波动方程能量关系：4.三个算符2.5粒子流密度和粒子数守恒定律1.几率流密度矢量利用薛定谔方程：令则连续性方程几率流密度矢量质量密度质量流密度电流密度二.波函数的标准化条件在变化范围内原式可积1.有界2.波函数及其一阶偏导单值3.及连续

§2.6定态薛定谔方程一.稳定势场中的薛定谔方程带入薛定谔方程并分离变量

如果不含时间，则薛定谔方程可用分离变量法求解。设其特解为即而解出令称为哈密顿算符。称为定态薛定谔方程。

求解定态薛定谔方程，我们得到体系（原方程）的一系列特解

从数学上讲，对任何值，定态薛定谔方程都有解，但并非对一切E值的解都满足物理上的要求，即波函数的标准化条件。这样只有一些特定的En

对应的解ψn

才满足物理上的要求。我们把这些特定的En

称为体系的质量本征值。而对应的波函数ψn

称为能量本征函数。定态薛定谔方程也就称为的本征方程。二.定态1.它描写的粒子的质量En是确定的。2.位置的几率分布不随时间变化。3.几率密度矢量亦与时间无关。而原方程的一般解可由特解迭加而成

用波函数描写的状态称为定态。因为