危重症患者的护理与评估讲课教案

危重症患者的护理与评估如何在学科教学中渗透德育教育如何在学科教学中渗透德育教育

/如何在学科教学中渗透德育教育如何在学科教学中渗透德育教育德育工作不仅是学校工作中的一项重要内容，也是学科教学工作中的一项重要任务。如何在学科教学中渗透德育教育，历来是专家学者极其关注的一个重要课题。随着新课程改革的不断深入，广大教师也开始在这方面展开积极的探索。要想在学科教学中搞好德育工作，必须高度重视以下几个方面的问题。转变观念，提高认识。由于受升学考试等诸多因素的影响，重知识、轻德育的现象在教学工作中仍较为普遍的存在。许多教师为了提高教学成绩，使学生考高分、拿名次，过分重视知识的传授，从而忽视了德育工作。要想扭转这种不利局面，就必须转变观念，提高认识。要知道，我们衡量人才的标准是“德才兼备”，而不是“才德兼备”，这一标准本身就对学校的德育工作提出了更高的要求。因而，作为教师，不仅要“教书”，更要“育人”。“教书”是手段，“育人”是目的。我们的培养目标是使学生“学会求知，学会做人”，“求知”和“做人”是密不可分的，二者相互影响，相互促进。因此，作为人民教师，必须把德育工作提到一个新的高度来认识：如果只重“教书”，不重“育人”；只重智育，不重德育，那就是我们的失职，就对不起“人类灵魂的工程师”这一光荣的称号。只有真正转变观念，广大教师才能积极主动、千方百计地在教学工作中去重视德育工作，研究德育工作，实践德育工作，渗透德育工作。改变评价模式，激发德育热情。多年来，教育行政部门评价一所学校的重要标准就是看升学率。学校评价教师的标准就是看学生的考试成绩。只要考试成绩高，教师的工作就好；只要成绩低，教师的工作就差。甚至以学生的考试成绩作为发放奖金、评优评模的唯一标准。致使广大教师过分看重学生考试成绩，因而忽视了德育工作。大量的作业批改，频繁的考试测验，节假日的补课辅导，几乎成了教师的全部工作。而且，为了提高成绩，教师不得不把精力放到学习好的学生身上。对于那些升学无望、及格堪忧的学生也只能放弃。因此，只有形成一种自上而下的全面科学的评价机制，才能从根本上提高广大教师德育工作的积极性，使广大教师自觉地把“教书”和“育人”融为一体，在教学工作中有意识、有目的的渗透德育工作。结合学科特点，联系教材内容。在学科教学中进行德育工作，必须联系教材内容，结合学科特点，突出强调在教学过程中加以“渗透”，而不是在教学内容之外进行“附加”。例如，在物理课教学中，我们不能在讲完“阿基米德定律”或是“牛顿定律”之后附加一段思想道德教育，讲什么遵守社会公德或是遵守班级纪律之类的问题。但可以结合科学家在这些定律的发现过程中所付出的艰辛劳动、所表现出的探索精神和坚强意志，对学生进行探索创新教育和意志品质培养，或者暗示学生将来会有更多用中国人名字命名的定律、定理，从而激发学生的爱国热情，坚定其为国争光的信心。再比如历史课，可以结合我国在封建社会独领风骚的科技文化成就来培养学生的民族自信心和自豪感。可以结合资本主义国家在科技革命后的飞速发展来培养学生的科学精神，也可以结合近代中过得屈辱历史来激发学生的爱国之志和报国之举，等等。总之，在学科教学中进行德育教育，应该是潜移默化的影响、自然而然的渗透。决不能脱离教学内容，决不能不顾学科特点，否则，只能是画蛇添足，得不偿失。从大处着眼，从小事抓起。对学生的德育教育，目标要高，着眼点要大。例如，敬业乐群、公而忘私的奉献精神，天下兴亡、匹夫有责的爱国情操，先天下之忧而忧、后天下之乐而乐的崇高志趣，自强不息、艰苦奋斗的昂扬锐气，富贵不能淫、贫贱不能移、威武不能屈的浩然正气，鞠躬尽瘁、死而后已的为政风范，厚德载物、道济天下的广阔胸襟，奋不顾身、舍身取义的英雄气概，大道之行、天下为公的社会理想，等等。所有这些，都应该成为我们德育教育的目标和着眼点。但对于还处于义务教育阶段的学生来讲，要求要适当降低，着手点要小。也就是说，要从小事抓起。在学生的日常学习和生活中，几乎没有面临生死考验的机会，也几乎不可能有什么惊天动地之举。但却常常面临着是与非、善于恶、美与丑的选择，常常面临着进与退、上与下、做与不做的取舍。这些选择、这些取舍，虽然往往是学习或生活中的一些小事，却常常对学生的人生观、价值观和世界观的形成产生重要的作用和深远的影响。所以，教师对学生的德育教育必须从点点滴滴的小事抓起，在细节上下足功夫，与微小处做足文章，决不能对那些所谓的“小事”视而不见。否则，当学生的不良习惯、甚至不良品质养成的时候，在教育起来就会难上十倍、百倍！持之以恒，常抓不懈。由于处于义务教育阶段的学生，其身心发展还很不成熟，缺乏足够的目的性和自制力，做起事来随意性很大。因而，在其良好道德品质形成的过程中，出现反复甚至倒退是在所难免的。所以千万不要指望通过一两次谈心、教育、批评就会收到令人满意的效果。学生在这件事上表现出很高尚的品质，在那件事上可能就表现不出来；在今天很有自制力，在明天可能就会令人大失所望，甚至会犯错误，有倒退。在学生的成长过程中，这是再平常不过的事情了。所以，我们要允许学生犯错误，要肯给时间让学生改正错误，并且要设法帮助学生认识并改正自己的缺点和错误。决不能一味的指责、挖苦，甚至一棍子打死。因此，任何学科在渗透德育教育的过程中，都要有充分的思想准备，要准备打持久战，要坚持常抓不懈。那种集中式和突击式的德育方法是不可取的，是不会收到实实在在的效果的。六、注重激励，适当表扬。学生在道德品质的形成过程中，决不会是一帆风顺的，必然会出现反复。在这种情况下，教师一定要善于发现学生成长过程中的进步，善于发现学生身上的闪光点，并设法帮助学生看到自己的成长，看到自己的进步，更要善于激励学生将这种进步发扬光大。决不能只看到学生身上的缺点，更不能夸大学生身上的缺点，否则就会使学生丧失信心。尤其是对那些努力想做好却又没能做好的学生，更要适时鼓励，时时激励。对于那些进步明显的同学，教师要及时地给予肯定，适当的加以表扬。让学生真切地感受到老师在时时刻刻的关注着他的进步，并使他们体会到成长的快乐和进步的喜悦，以得到情感上的满足。正所谓“好孩子是夸出来的！”七、开展丰富多彩的学科活动，培养学生的道德品质。只有在事物发展变化的过程中，只有在各种各样的实践活动中，学生才能切身体会到在自己成长的过程中必须面临种种选择，才能让他们真实的体验到书本上所学到的各种知识和理论在实践中的应用，才能使他们有意识的用其所学指导自身成长。因而，教师应该结合教学内容有意识、有目的的组织丰富多彩的学科活动，以培养学生的道德品质和鉴别能力。比如在思想品德课的教学过程中，结合保护环境这一教学内容，组织学生调查校园周边的环境状况，让学生切身感受环境问题的严重性和保护环境的迫切性，从而增强保护环境的自觉性、主动性和积极性。结合改革开放这一教学内容，组织学生访问爷爷奶奶、爸爸妈妈童年的生活状况，对比现在的生活，感受祖国在改革开放中所取得的辉煌成就，激发学生的爱国热情。结合艰苦创业这一教学内容，组织学生开展关于艰苦奋斗精神是否过时的辩论会，以培养学生的艰苦奋斗精神，等等。总之，德育工作是教学工作的重要目标之一。在教学过程中，各科教师都要有意识、有目的的在学科教学中渗透德育教育，以促进学生的健康成长和全面发展。

八下数学《平行四边形》竞赛试卷-(8K含答案)八下数学《平行四边形》竞赛试卷-(8K含答案)

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八下数学《平行四边形》竞赛试卷-(8K含答案)××学校八年级数学《平行四边形》竞赛试题总分120分，时间120分钟一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=_________．2．（2003?宁波）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是_________．（填一个即可）3．如图，已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE=____．4．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）四边形ADEF是_________；（2）当△ABC满足条件_________时，四边形ADEF为菱形；（3）当△ABC满足条件_________时，四边形ADEF不存在．

1题2题3题4题5．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+，则这两边之积为________．6．如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有_________对四边形面积相等；它们是_________．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+，∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积为_________．8．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE的度数为_________度．9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为_________．

6题7题8题9题二、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）10．如图，?ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（）

A．

60°

B．

65°

C．

70°

D．

75°

10题11题12题13题11．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（）

A．

70°

B．

75°

C．

80°

D．

95°

12．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=（）

A．

2

B．

C．

3

D．

13．如图，平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=（）

A．

54°

B．

60°

C．

66°

D．

72°

14．四边形ABCD的四边分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是（）

A．

两组角分别相等的四边形

B．

平行四边形

C．

对角线互相垂直的四边形

D．

对角线相等的四边形

15．周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形，如图所示，则长方形ABCD的面积为（）

A．

98

B．

196

C．

280

D．

284

15题16题16．（2003?吉林）如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（）

A．

12m

B．

20m

C．

22m

D．

24m

17．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，则（）

A．

AD＞BC

B．

AD＜BC

C．

AD=BC

D．

AD与BC的大小关系不能确定

18．已知四边形ABCD，从下列条件中：（1）AB∥CD；（2）BC∥AD；（3）AB=CD；（4）BC=AD；（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）

A．

4种

B．

9种

C．

13种

D．

15种

三、解答题（共11小题，满分0分）19．如图，在△ADC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC．20．设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC，试证：BC⊥BD，且BC=BD．

21．如图，在等腰三角形ABC中，延长AB到点D，延长CA到点E，且AE=BD，连接DE．如果AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数．

22．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．

23．（2002?河南）如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．

24．（2008?咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长．

26．（2002?陕西）阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1_________S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画_________个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_________个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？

27．如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．

28．如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．

新课标八年级数学竞赛培训第15讲：平行四边形参考答案与试题解析

一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=．考点：

矩形的性质；等腰三角形的性质。368876

专题：

几何图形问题。

分析：

首先过A作AG⊥BD于G．根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，则PE+PF=AG．利用勾股定理求得BD的长，再根据三角形的面积计算公式求得AG的长，即为PE+PF的长．

解答：

解：如图，过A作AG⊥BD于G，则S△AOD=×OD×AG，S△AOP+S△POD=×AO×PF+×DO×PE=×DO×（PE+PF），∵S△AOD=S△AOP+S△POD，∴PE+PF=AG，∴等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，∴PE+PF=AG．∵AD=12，AB=5，∴BD==13，∴，∴．故答案为：．

点评：

本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积计算．解决本题的关键是明白等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高．

2．（2003?宁波）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是BE=DF．（填一个即可）考点：

平行四边形的判定。368876

专题：

开放型。

分析：

要使四边形AECF也是平行四边形，可增加一个条件：BE=DF．

解答：

解：使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，如果BE=DF，则有：∵AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE，∵AD=BC，BE=DF，∴△ADF≌△BCE，∴CE=AF，同理，△ABE≌△CFD，∴CF=AE，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为：BE=DF．

点评：

本题考查了平行四边形的判定，是开放题，答案不唯一，本题利用了平行四边形和性质，通过证△ADF≌△BCE，△ABE≌△CFD，得到CE=AF，CF=AE利用两组对边分别相等来判定平行四边形．

3．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE=4.8．考点：

矩形的性质。368876

专题：

计算题。

分析：

矩形各内角为直角，在直角△ABD中，已知AB、AD，根据勾股定理即可求BD的值，根据面积法即可计算AE的长．

解答：

解：矩形各内角为直角，∴△ABD为直角三角形在直角△ABD中，AB=6，AD=8则BD==10，∵△ABD的面积S=AB?AD=BD?AE，∴AE==4.8．故答案为4.8．

点评：

本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，本题中根据勾股定理求BD的值是解题的关键．

4．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足条件AB=AC时，四边形ADEF为菱形；（3）当△ABC满足条件AB=AC=BC时，四边形ADEF不存在．考点：

等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定。368876

专题：

证明题。

分析：

（1）先证明△ABC≌△DBE，△ABC≌△FEC，则DE=AC=AF，FE=AB=AD，则四边形ADEF是个平行四边形；（2）当AB=AC时，四边形ADEF为菱形；（3）当AB=AC=BC时，四边形ADEF不存在．

解答：

解：（1）四边形ADEF是个平行四边形在△ABC和△DBE中，∵BC=BE，BA=BD，∠DBE=∠ABC（与∠ABE之和都等于60°），∴△ABC≌△DBE，∴DE=AC，在△ABC和△FEC中，∵BC=EC，CA=CF，∠ACB=∠FCE（都为60°角与=∠ACE之和），∴△ABC≌△FEC，∴FE=AB，∴DE=AC=AF，FE=AB=AD，∴四边形ADEF是个平行四边形；（2）当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时，即AB=AC时，由第（1）题中可知四边形ADEF的四边都相等，此时四边形ADEF是菱形；（3）当△ABC为等边三角形时，即AB=AC=BC时，四边形ADEF中的A点与E点重合，此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

点评：

本题考查了平行四边形、菱形的判定以及等边三角形的性质．

5．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+，则这两边之积为．考点：

勾股定理的逆定理；勾股定理。368876

专题：

探究型。

分析：

先根据三角形的一边长为2，这边上的中线为1判断出此三角形是直角三角形，在设另两边分别为x、y两用完全平方公式可用x2+y2表示出xy的值，再由勾股定理即可求出x2+y2，进而可求出xy的值．

解答：

解：∵三角形的一边长为2，这边上的中线为1，可知这边上的中线等于这条边的一半，∴此三角形是个直角三角形，斜边为2，设另两边分别为x、y，两边之和x+y=1+，∴（x+y）2=（1+）2=4+2，∴xy=2+﹣，又∵直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方，∴x2+y2=4，∴xy=2+﹣2=．故答案为：．

点评：

本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，根据已知条件判断出三角形的形状是解答此题的关键，解答此题时不要根据另两边之和为1+即可盲目的设一边为1，另一边为．

6．如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有5对四边形面积相等；它们是?AEPG与?PHCF、?EFCB与?ABHG、?GHCD与?EFDA、梯形ABPG与梯形BCFP、四边形PHCD与四边形AEPD．考点：

平行四边形的性质。368876

分析：

由题意可证四边形EPHB为平行四边形，再根据平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，从而求解．

解答：

解：∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形EPBH为平行四边形，∵BP为平行四边形EPBH的对角线，∴△EBP与△BHP的面积相等，∵BD为平行四边形ABCD的对角线，∴△ABD与△BCD面积相等，∵PD为平行四边形PFDG的对角线，∴△GPD与△PFD面积相等，∴?AEPG与?PHCF面积相等；?EFCB与?ABHG面积相等；?GHCD与?EFDA面积相等、梯形ABPG与梯形BCFP、梯形PHCD与梯形AEPD．共5对，故答案为：5，?AEPG与?PHCF、?EFCB与?ABHG、?GHCD与?EFDA、梯形ABPG与梯形BCFP、梯形PHCD与梯形AEPD．

点评：

此题主要考查平行四边形的性质及其面积公式，比较简单．

7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+，∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积为．考点：

菱形的性质；勾股定理。368876

专题：

计算题。

分析：

根据∠ABC=60°可以求得∠ABO=30°，即AB=2AO，设AO=x，则AB=2x，根据勾股定理即可求得OB=x，求得x的值即可求得AC，BD的长度，即可计算菱形ABCD的面积．

解答：

解：菱形对角线即角平分线∠ABC=60°可以求得∠ABO=30°，即AB=2AO，设AO=x，则AB=2x，则OB==x，即（3+）x=3+即x=1，∴菱形的对角线长为2、2，故菱形ABCD的面积为S=×2×2=2．故答案为2．

点评：

本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形对角线互相垂直且平分一组对角的性质，本题中根据勾股定理求x的值是解题的关键．

8．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE的度数为75度．考点：

矩形的性质；等边三角形的判定与性质。368876

专题：

计算题。

分析：

根据矩形的性质可得△BOA为等边三角形，得出BA=BO，又因为△BAE为等腰直角三角形，BA=BE，由此关系可求出∠BOE的度数．

解答：

解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=45°，又知∠EAO=15°，∴∠OAB=60°，∵OA=OB，∴△BOA为等边三角形，∴BA=BO，∵∠BAE=45°，∠ABC=90°，∴△BAE为等腰直角三角形，∴BA=BE．∴BE=BO，∠EBO=30°，∠BOE=∠BEO，此时∠BOE=75°．故答案为75°．

点评：

此题综合考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、矩形的性质等知识点．

9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为10．考点：

勾股定理；全等三角形的判定与性质。368876

专题：

计算题。

分析：

因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF=AB﹣BF．

解答：

解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′′F=BF，设D′F=x，则AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=?AF?BC=10．故答案为10．

点评：

本题考查了勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．

二、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）10．如图，?ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（）

A．

60°

B．

65°

C．

70°

D．

75°

考点：

平行四边形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线。368876

专题：

计算题。

分析：

由DE=2AB，可作辅助线：取DE中点O，连接AO，根据平行四边形的对边平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得△ADO，△AOE，△AOB是等腰三角形，借助于方程求解即可．

解答：

解：取DE中点O，连接AO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB=180°﹣∠ABC=105°，∵AF⊥BC，∴AF⊥AD，∴∠DAE=90°，∴OA=DE=OD=OE，∵DE=2AB，∴OA=AB，∴∠AOB=∠ABO，∠ADO=∠DAO，∠AED=∠EAO，∵∠AOB=∠ADO+∠DAO=2∠ADO，∴∠ABD=∠AOB=2∠ADO，∴∠ABD+∠ADO+∠DAB=180°，∴∠ADO=25°，∠AOB=50°，∵∠AED+∠EAO+∠AOB=180°，∴∠AED=65°．故选B．

点评：

此题考查了直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）、平行四边形的性质（平行四边形的对边平行）以及等腰三角形的性质（等边对等角），解题的关键是注意方程思想的应用．

11．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（）

A．

70°

B．

75°

C．

80°

D．

95°

考点：

菱形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。368876

专题：

计算题。

分析：

正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，所以AB=AE，AF=AD，根据邻角之和为180°即可求得∠B的度数．

解答：

解：正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，所以AB=AE，AF=AD，设∠B=x，则∠BAD=180°﹣x，∠BAE=∠DAF=180°﹣2x，即180°﹣2x+180°﹣2x+60°=180°﹣x解得x=80°，故选C．

点评：

本题考查了正三角形各内角为60°、各边长相等的性质，考查了菱形邻角之和为180°的性质，本题中根据关于x的等量关系式求x的值是解题的关键．

12．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=（）

A．

2

B．

C．

3

D．

考点：

正方形的性质；勾股定理。368876

专题：

计算题。

分析：

用EF，BE，AB分别表示AP，BP，用CF，PF，DC分别表示DP，CP，得AP2+CP2=DP2+BP2，已知AP，BP，CP代入上式即可求DP．

解答：

解：延长AB，DC，过P分作PE⊥AE，PF⊥DF，则CF=BE，AP2=AE2+EP2，BP2=BE2+PE2，DP2=DF2+PF2，CP2=CF2+FP2，∴AP2+CP2=CF2+FP2+AE2+EP2，DP2+BP2=DF2+PF2+BE2+PE2，即AP2+CP2=DP2+BP2，代入AP，BP，CP得DP==2，故选A．

点评：

本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边相等的性质，本题中求证AP2+CP2=DP2+BP2是解题的关键．

13．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=（）

A．

54°

B．

60°

C．

66°

D．

72°

考点：

菱形的判定与性质；平行四边形的性质。368876

专题：

计算题。

分析：

过F作AB、CD的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的值，由此得解．

解答：

解：过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，即G是BC的中点；连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，则BG=GE=FG=BC；∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，∴∠B=∠BEG=180°﹣108°=72°．故选D．

点评：

此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键．

14．四边形ABCD的四边分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是（）

A．

两组角分别相等的四边形

B．

平行四边形

C．

对角线互相垂直的四边形

D．

对角线相等的四边形

考点：

平行四边形的判定；非负数的性质：偶次方；完全平方公式。368876

专题：

规律型。

分析：

对于所给等式a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，先移项，故可配成两个完全式，即（a﹣c）2+（b﹣d）2=0，进而可得a=c，b=d，四边形中两组对边相等，故可判定是平行四边形．

解答：

解：a2+b2+c2+d2=2ac+2bd可化简为（a﹣c）2+（b﹣d）2=0∴a=c，b=d∵a，b，c，d分别为四边形ABCD的四边∴a=c，b=d即两组对边分别相等，则可确定其为平行四边形．故选B．

点评：

此题主要考查平行四边形的判定问题，正确的对式子进行变形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

15．周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形，如图所示，则长方形ABCD的面积为（）

A．

98

B．

196

C．

280

D．

284

考点：

一元一次方程的应用。368876

专题：

几何图形问题。

分析：

此题要理解长方形ABCD的面积是不变的，用不同的方法表示即是此题的等量关系，也就是7个小长方形的面积和与大长方形的面积相等．还要注意设小长方形的宽为x，则其长为34﹣6x，大长方形的宽为34﹣5x，长为5x，根据等量关系列方程即可．

解答：

解：设小长方形的宽为x．根据题意得：7x（34﹣6x）=5x（34﹣5x）化简得：7（34﹣6x）=5（34﹣5x）解得：x=4则大长方形的面积为5x（34﹣5x）=280故选C．

点评：

此题锻炼了学生的识图能力，关键是分清7个小长方形是如何组合成大长方形的，还要注意设小的比较简单．

16．（2003?吉林）如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（）

A．

12m

B．

20m

C．

22m

D．

24m

考点：

菱形的性质；等边三角形的性质。368876

专题：

应用题。

分析：

连接AC，根据已知可得到△ABC为正三角形，从而可求得正六边形的边长是△ABC边长的，已知种花部分图形共有10条边则其周长不难求得．

解答：

解：连接AC，已知∠A=120°，ABCD为菱形，则∠B=60°，从而得出△ABC为正三角形，以△ABC的顶点所在的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是△ABC边长的，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为×6×10=20m，故选B．

点评：

此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质的运用．

17．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，则（）

A．

AD＞BC

B．

AD＜BC

C．

AD=BC

D．

AD与BC的大小关系不能确定

考点：

平行四边形的判定与性质。368876

分析：

根据条件AB+BC=CD+DA，可以延长AB至E使BE=BC，延长CD至F使DF=DA，连接CE，AF，这样的辅助线，然后根据平行四边形的判定定理得出四边形AECF为平行四边形，再利用三角形全等可以得出AD与BC的大小关系．

解答：

解：延长AB至E使BE=BC，延长CD至F使DF=DA，连接CE，AF，∵AB+BC=CD+DA，∴AE=CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴∠E=∠F，CE=AF，又∵BE=BC，DF=AD，∴∠E=∠BCE=∠F=∠DAF，∵CE=AF，∴△AFD≌△BEC，∴AD=BC，故选C．

点评：

此题主要考查了平行四边形的性质与判定，延长AB至E使BE=BC，延长CD至F使DF=DA，这种辅助线的作法是由条件AB+BC=CD+DA所决定的，同学们做今后做题过程中，应该学会应用．

18．已知四边形ABCD，从下列条件中：（1）AB∥CD；（2）BC∥AD；（3）AB=CD；（4）BC=AD；（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）

A．

4种

B．

9种

C．

13种

D．

15种

考点：

平行四边形的判定。368876

分析：

平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两个进行推理．

解答：

解：根据平行四边形的判定，符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种．故选B．

点评：

平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

三、解答题（共11小题，满分0分）19．如图，在△ADC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC．考点：

平行四边形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质。368876

专题：

证明题。

分析：

从角的角度证明困难，连接EF，在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGFE为特殊平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形．

解答：

证明：连接EF．∵∠BAC=90°，AD⊥BC．∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．∵BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线．∴∠ABG=∠EBD．∵∠AGE=∠GAB+∠GBA，∠AEG=∠C+∠EBD，∴∠AGE=∠AEG，∴AG=AE，∵AF是∠DAC的平分线，∴AO⊥BE，GO=EO，∵∴△ABO≌△FBO，∴AO=FO，∴四边形AGFE是平行四边形，∴GF∥AE，即GF∥AC．

点评：

此题主要考查平行四边形的判定与性质，三角形的外角性质和全等三角形的判定与性质的综合运用．

20．设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC，试证：BC⊥BD，且BC=BD．考点：

等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质。368876

专题：

证明题。

分析：

此题关键是证△PBC≌△PDB，已有PC=PD，PB是公共边，只需再证明∠BPD=∠CPB，而∠BPD=∠APG，则证明∠APG=∠CPB，进而需要证明∠1=∠2，可利用同角的余角相等证明．

解答：

解：∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠ACB=90°，∴CEPF是矩形（三角都是直角的四边形是矩形），∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵PG⊥EF，∴∠PEF+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠APE=∠BPF=45°，∴∠APE+∠2=∠BPF+∠1，即∠APG=∠CPB，∵∠BPD=∠APG，∴∠BPD=∠CPB，又∵PC=PD，PB是公共边，∴△PBC≌△PBD（SAS），∴BC=BD，∠PBC=∠PBD=45°，∴∠PBC+∠PBD=90°，即BC⊥BD．故证得：BC⊥BD，且BC=BD．

点评：

本题主要考查三角形全等的判定和性质，综合利用了等腰直角三角形的性质，和矩形的判定和性质等知识点，难度较大．

21．如图，在等腰三角形ABC中，延长AB到点D，延长CA到点E，且AE=BD，连接DE．如果AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数．考点：

等腰三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质。368876

专题：

综合题。

分析：

过D作DF∥BC，且使DF=BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得到BD=CF，DA∥FC，再利用SAS判定△ADE=△CEF，根据全等三角形的性质可得到ED=EF，从而可推出△DEF为等边三角形，∠BAC=x°，则∠ADF=∠ABC=，根据三角形内角和定理可分别表示出∠ADE，∠ADF，根据等边三角形的性质不难求得∠BAC的度数．

解答：

解：过D作DF∥BC，且使DF=BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，∴BD=CF，DA∥FC，∴∠EAD=∠ECF，∵AD=CE，AE=BD=CF，∴△ADE≌△CEF（SAS）∴ED=EF，∵ED=BC，BC=DF，∴ED=EF=DF∴△DEF为等边三角形设∠BAC=x°，则∠ADF=∠ABC=，∴∠DAE=180°﹣x°，∴∠ADE=180°﹣2∠DAE=180°﹣2（180°﹣x°）=2x°﹣180°，∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°∴+（2x°﹣180°）=60°∴x=100．∴∠BAC=100°．

点评：

此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．

22．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．考点：

平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。368876

专题：

证明题。

分析：

（1）在△ACD和△CBF中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．（2）当∠DEF=30°，即为∠DCF=30°，在△BCF中，∠CFB=90°，即F为AB的中点，又因为△ACD≌△CBF，所以点D为BC的中点．

解答：

证明：（1）由△ABC为等边三角形，AC=BC，∠FBC=∠DCA，CD=BF，所以△ACD≌△CBF．（2）当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且角DEF=30度按上述条件作图，连接BE，在△AEB和△ADC中，AB=AC，∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，即∠EAB=∠DAC，AE=AD，∴△AEB≌△ADC（SAS），又∵△ACD≌△CBF，∴△AEB≌△ADC≌△CFB，∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°，∴△EFB为正三角形，∴EF=FB=CD，∠EFB=60°，又∵∠ABC=60°，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥BC，而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，∴四边形CDEF为平行四边形，∵D在线段BC上的中点，∴F在线段AB上的中点，∴∠FCD=×60°=30°则∠DEF=∠FCD=30°．

点评：

本题考查了平行四边形的判定和三角形全等的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

23．（2002?河南）如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．考点：

等腰三角形的判定。368876

专题：

证明题。

分析：

根据已知，利用SAS判定△AEM≌△BFM，从而得到EM=FM；根据角之间的关系可求得∠EMF=90°，即△MEF是等腰直角三角形．

解答：

解：△MEF是等腰直角三角形．证明如下：连接AM，∵M是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC，∴AM=BC=BM，AM平分∠BAC．∵∠MAC=∠MAB=∠BAC=45°．∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE∥AB，DF∥AC．∵∠BAC=90°，∴四边形DFAE为矩形．∴DF=AE．∵DF⊥BF，∠B=45°．∴∠BDF=∠B=45°．∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，∴AE=BF．∵AM=BM∴△AEM≌△BFM（SAS）．∴EM=FM，∠AME=∠BMF．∵∠AMF+∠BMF=90°，∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，∴△MEF是等腰直角三角形．

点评：

此题主要考查学生对等腰三角形的判定的理解及运用；得到AE=BF是正确解答本题的关键．

24．（2008?咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．考点：

矩形的判定。368876

专题：

几何综合题。

分析：

（1）根据平行线性质和角平分线性质及，由平行线所夹的内错角相等易证．（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证

解答：

（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，（2分）同理，FO=CO，（3分）∴EO=FO．（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵EO=FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，（6分）∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=×180°=90°．即∠ECF=90度，（7分）∴四边形AECF是矩形．（8分）

点评：

本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．

25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长．考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。368876

专题：

计算题。

分析：

求证△DEC≌△BAC，得DE=AB，再求证DF=DE即可解此题．

解答：

解：∵△ABC为直角三角形，∠C=60°，∴∠BAC=30°，∴BC=AC，∵D为AC的中点，∴BC=DC，∴在△DEC≌△BAC中，，∴△DEC≌△BAC，即AB=DE，∠DEB=30°，∴∠FED=60°，∵EF=AB，∴EF=DE，∴△DEF为等边三角形，即DF=AB，在直角三角形ABC中，BC=2，则AC=4AB==．答：DF的长为．

点评：

本题考查了等腰三角形各边均相等，考查了矩形内角均为直角的性质，本题中求证△DEF是等边三角形是解题的关键．

26．菱形的对角线AC与BD交于点O，若菱形ABCD的面积为24，AC=6，则菱形的边长为5．分析：

根据菱形ABCD的面积和AC可以计算BD的长，在Rt△ABO中，已知AO、BO根据勾股定理即可求得AB的值，即可解题．

解答：

解：菱形ABCD的面积S=AC?BDS=24，AC=6，则BD=8，∴AO=CO=3，BO=DO=4在Rt△ABO中，AB==5，故答案为5．

点评：

本题考查了菱形面积的计算公式，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据AO、BO的值求AB的值是解题的关键．

27．（2002?陕西）阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1=S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画1个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出3个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？分析：

（1）易得原有三角形都等于所画矩形的一半，那么这两个矩形的面积相等．（2）可仿照图2矩形ABFE的画法得到矩形．由于∠C非直角，所以只有一种情况．（3）可让原锐角三角形的任意一边为矩形的一边，另一顶点在矩形的另一边的对边上，可得三种情况．（4）根据三个矩形的面积相等，利用求差法比较三个矩形的周长即可．

解答：

解：（1）=（2）1（3）3（4）以AB为边长的矩形周长最小，设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c．易得三个矩形的面积相等，设为S，∴L1=+2a；L2=+2b；L3=+2c．∵L1﹣L2=2（a﹣b）而a﹣b＞0，ab﹣s＞0，ab＞0∴L1﹣L2＞0，∴L1＞L2，同理可得L2＞L3∴以AB为边长的矩形周长最小．

点评：

注意运用类比的方法画图；要比较两个数或式子的大小，一般采用求差法．

28．如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。368876

专题：

证明题。

分析：

可过点M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，得出四边形AMEN为平行四边形，再通过求证△BEM≌△AMC，可得出△BEN为等腰直角三角形，进而再利用平行线的性质可得出结论．

解答：

证明：如图，过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，∴NE=AM，ME⊥BC，∵ME=AN=CM，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC，∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE，∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°，∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45°．

点评：

本题主要考查平行四边形的判定及性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定及性质，能够求解一些简单的应用问题．

29．如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．考点：

线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线。368876

分析：

（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．

解答：

（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．因为CE⊥AB，P是BF的中点，所以△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，所以PE=BF．又因为AD⊥BC，所以△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，所以PD=BF=PE，所以点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，所以QD=AC=QE，所以点Q也在线段DE的垂直平分线上．所以直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，所以PD=BF，PE=BF，所以PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，所以点Q在线段DE的垂直平分线上．所以直线PQ垂直平分线段DE．

点评：

此题考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．

平面向量与三角形三心平面向量与三角形三心

页平面向量与三角形三心向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令（)化简得（4）为的外心。典型例题分析[例题]已知点G是内任意一点,点M是所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过的_______心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).[提出问题](1)若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.(2)若点D是的底边BC上的中点,满足,则点G可能通过的__________.(3)若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.(4)若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.[解答过程](1)记,则.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是角平分线上的点,故应填内心.(2)简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点,故应填外心.(3)记,则.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是BC边的中线上的点,故应填重心.(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量积的充分利用.由,得,(关键点)于是.从而,点G是高线上的点,故应填垂心.[点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.总结：（1）是的重心.（2）为的垂心.（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.为的外心。或者若点为内任意一点，若点满足:1．;2.两点分别是的边上的中点,且;3.;4..结合运用：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示，分别为边的中点.//点的轨迹一定通过的重心，即选.例2：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（B）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分,点的轨迹一定通过的内心，即选.例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足.===+=0点的轨迹一定通过的垂心，即选.练习：1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（）A．2B．C．3D．62．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则()A．B．0C．1D．3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（）A．0B．C．D．4．的外接圆的圆心为O，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心6．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=7．已知非零向量

eq\o(AB,\s\up6(→))

与

eq\o(AC,\s\up6(→))

满足(

eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)

+

eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)

)·

eq\o(BC,\s\up6(→))

=0且

eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)

·

eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)

=

eq\f(1,2)

,则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8．已知三个顶点，若，则为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C

睡前故事86359睡前故事86359睡前故事86359乌鸦喝水的故事：有一只乌鸦长得不好看，但却特别聪明，很爱动脑筋。一天，它干完活又累又渴，就到处找水喝。忽然，它看了一个瓶子，里面好像装着水，它高兴地飞了过去。它把嘴探到瓶子里，可瓶子太深水太少，根本喝不到。它使劲地用身体撞瓶子，想把瓶子弄倒，可是却根本撞不动。“我要怎样才能喝到水呢?渴死我啦!”乌鸦说道。忽然，它看到了地上的小石头，马上就想了一个好办法。它把石头叼起来放到瓶子里，石子放得越多，水也上升得越高了。最后，乌鸦终于喝到了水，顺利解了渴。乌鸦喝水的故事启示：小朋友们也要向乌鸦学习，做个爱动脑筋的好孩子。两只打架的公鸡故事：有两只好斗的公鸡，它们住在同一个鸡棚里，每天都会打架。这天，两只公鸡又打了起来，小一点的公鸡被打败了。被打败的公鸡觉得非常丢脸，于是躲进了鸡棚的角落里。那只打了胜仗的公鸡高兴极了，到处炫耀说：“看，我才是常胜将军!”它觉得外面的鸡也应该知道它这个胜利者。于是，它张开翅膀，“扑啦扑啦”地飞上了高墙。它对着外面“喔喔”地高声叫唤，向大家说自己打胜了。天上飞的老鹰听到了它的叫声，开心极了，心想：“我的晚餐有着落了。”它猛冲下来，一把抓起那只公鸡，飞走了。两只打架的公鸡的寓意两只打架的公鸡的寓意两只打架的公鸡的寓意两只打架的公鸡的寓意：：：：这个故事告诉我们：高兴过了头，就会带来不好的后果。风与太阳的故事：北风与太阳都说自己的能量大，一直都在争吵。最后他们说：“谁能让行人脱下衣服，谁就胜利!”北风一开始就猛烈地刮，路上的行人却紧紧裹住自己的衣服。北风急了，刮得更猛，行人冷得发抖，又多添了几件衣服。北风刮累了，便对太阳说：“你来试试吧!”太阳先把温和的阳光洒向行人，行人脱掉了添加的衣服。太阳接着把强烈阳光射向大地，行人们都喊着“好热!”最后，他们脱光了衣服，跳到河里去洗澡了。就这样，聪明的太阳赢得了比赛。风与太阳的寓意：这个故事告诉我们：用温和的方式也许更容易达到目的公鸡和狐狸的故事：狗与公鸡在路上碰见，结为朋友一起赶路。到了晚上，公鸡飞到树枝上休息，狗就在下面树洞里过夜。当天快亮时，公鸡像往常一样啼叫起来。只有狐狸听见鸡叫，想要吃鸡肉，便跑来站在树下。它赞美公鸡说：“你的歌唱得真好听，请你下来和我做朋友吧!”公鸡知道狐狸的坏心思，于是想了个惩罚它的好办法。它对狐狸说：“你去叫醒树洞里那个看门的，只要它开门，我就下来。”狐狸走到树洞前，大叫：“里面的，快给我出来!”狗听见了狐狸的叫声，马上跳了出来，一口咬住了它。公鸡和狐狸的寓意：这个故事告诉我们：遇到坏人时，一定要运用智慧打败他们。叼着肉的狗的故事：有只很喜欢吃肉的小胖狗在池塘边散步。忽然，它看见了一块肉，高兴地“汪汪”叫起来。“我的运气太好了!”它马上跑过去叼起了那块肉。当它站在池塘边时，忽然看到水中自己的倒影。“咦!那只狗也叼着块肉，我要把它抢过来!”小胖狗马上跳进水里，要去抢那块肉。可是当它一张嘴，自己叼的那块肉就落进了水中。小胖狗最后一块肉也没吃着，伤心地哭起来。其实，水中的狗是他自己的影子呀这个故事告诉我们，如果太贪心，可能什么都得不到。小马过河的故事：有匹小马长大了，老马想让他自己出门锻炼锻炼。老马对小马说：“宝贝，帮妈妈把这袋麦子送到奶奶那去吧!”在途中，小马被一条小河挡住了去路，他不知道自己能不能趟过去。“孩子，水很浅，你能趟过去。”一只老牛说道。“小马别过河，水很深，你会淹死的!”一只小松鼠拦住他大叫。小马不知道怎么办才好，于是回家问妈妈。妈妈说：“孩子，你一定要自己开动脑筋，去试试才知道。”小马跑到河边，小心地趟到了对岸。原来河水既不像老牛说的那样浅，也不像松鼠说的那样深。老牛腿长，所以说水浅;松鼠腿短，所以说水深。这个故事告诉我们：凡事要注重实践。农夫和他的孩子们的故事：从前，有个农夫得了重病，请了好几个医生都治不好。农夫没有钱留给孩子，很担心孩子们不勤劳没有饭吃。农夫很快想了一个好办法，他把孩子们叫到了自己的床前。“孩子们，我在葡萄园里给你们埋下了很多钱。”农夫虚弱地说。说完农夫就死了，孩子们马上拿着犁头去葡萄园里翻地。第一天，他们把整个葡萄园翻了一遍，没找到。他们找了很多天，把地挖得很深，还是没找到。最后，由于土地经常耕种，他们的葡萄长得非常的好。孩子们将葡萄卖了很多钱，也懂得了父亲说的那番话的意思。这个故事告诉我们：勤劳是人们的财宝。狮子和蚊子的故事：狮子认为自己是森林之王，能打败所有的动物。一只蚊子不服气，跑去挑战狮子。狮子轻蔑地说：“你这小蚊子，我用两根手指就能把你捏死!”蚊子说：“你长得这么高大，可根本不是我的对手!”狮子听到非常生气，用手去抓蚊子。可是蚊子专门咬狮子没毛的地方，狮子气得把自己的脸都抓破了。最后，狮子要求停战，也承认蚊子比自己厉害。蚊子非常得意，哼着歌在空中飞来飞去。可是一不注意，居然一头撞在蜘蛛网上，被蜘蛛抓住了。这个故事告诉我们：即使取得了成功，也不能骄傲自满。农夫和蛇的故事：在一个寒冷的冬天，有一条蛇冻僵了。一个农夫觉得它很可怜，就把它捡起来。农夫把蛇放进了怀里，用自己的身体温暖蛇。农夫的身体很暖和，蛇慢慢的开始醒过来了。蛇醒来后，用它带毒的尖牙狠狠地咬了农夫一口。农夫很后悔，他觉得自己不应该去救蛇这样的坏蛋。自己没有分清好坏，救了它反倒害了自己。没过多久，农夫就在悔恨中死去了。这个故事告诉我们，帮人首先要学会分清好坏。然后还要用正确的方法，才能让自己不受伤害。狼和小羊的故事：山上有条小溪，狼和小羊到溪边喝水。狼在小溪上游，而小羊在小溪下游。狼想吃掉小羊，便想办法找借口。狼对小羊吼着说：“你把我要喝的水弄脏了!”小羊很惊讶，说：“可我在小溪下游，不会把水弄脏呀。”狼又想了一个借口，说：“你去年说了我的坏话。”小羊回答：“可去年我还没有出生呢!”狼又说：“那就是你爸爸说的，反正都一样!”它不想找借口了，上去就把小羊吃掉了。这个故事告诉我们：遇到恶人不要解释，还是想办法逃走吧。1、爱笑的小花公园里有朵花，真好看，看见小天天，总是笑眯眯的。天天问花儿："你叫什么名字？"花儿只是笑，不说话。天天伸出小手，要采这朵花。外公摆摆手说："天天别采！你不采她，花儿总是对你笑，你一采下来，花儿就哭了。"天天不想看到小花对他哭，天天没有采。这时，小花笑得更可爱了。她成了天天的好朋友。天天回家以后，告诉外婆："公园里有一朵花，很乖很乖，对他一直笑，一直笑。"外婆说："天天也很乖，你也是一朵爱笑的小花。"故事目标：1.知道微笑是一种美。2.懂得要爱护花。（周末带孩子去公园看花）可设置一些问题让幼儿讨论：1.小天天和花儿都有一个什么特点让人喜欢？2.小天天为什么一直没有摘公园里的那朵花？3.外婆为什么说："天天也是一朵爱笑的小花？"让幼儿明白：微笑会让大家喜欢，爱护花的孩子更让人喜欢。2、笨狼阿灰笨狼阿灰经常想歪点子欺负其他小动物，还得意洋洋。这一天，笨狼阿灰又吓唬小公鸡，说要吃掉他。小公鸡请求阿灰晚上再来，笨狼同意了。小动物们知道了，一起来帮小公鸡想办法。大家在小公鸡的家里布置了一些特别的陷阱。小狗说："小公鸡，这下你可不用害怕了。"笨狼阿灰一走进小公鸡家就掉进了陷阱里，大家高兴得拍手称快。引导幼儿讨论下列问题：1.笨狼阿灰是一只什么样的狼？你喜欢故事中的小公鸡吗？为什么？2.如果笨狼阿灰不同意小公鸡的请求，没有等到晚上就来了，公鸡可以想什么办法呢？向幼儿提出新的假设条件，帮助幼儿思考新的可能性，然后要求幼儿想象并表达自己的见解。3、小猴子掰玉米有一天，一只小猴子下山来