2021-2022学年湖南省怀化市大湾中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年湖南省怀化市大湾中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，大正方形的面积是，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为.

.

.

.参考答案：.因为大正方形的面积是，所以大正方形的边长是，由直角三角形的较短边长为，得四个全等直角三角形的直角边分别是和，则小正方形边长为，面积为.所以小花朵落在小正方形内的概率为.故选.【解题探究】本题考查几何概型的计算.几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式求解．所以本题求小花朵落在小正方形内的概率，关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积.2.已知定义在R上的函数满足，其图像经过点（2,0），且对任意恒成立，则不等式的解集为A．

B．

C．

D．参考答案：.试题分析：因为对任意恒成立，所以当时，，这表明函数在上是单调递增的.又因为其图像经过点（2,0），所以，所以当时，；当时，；又因为定义在R上的函数满足，所以函数的图像关于直线对称.所以不等式可转化为：当时，显然不满足该不等式；当时，此时，所以即，所以此时不等式的解集为；当时，，所以即，所以此时不等式的解集为，综上所述，不等式的解集为，故应选.考点：1、函数的基本性质；2、不等关系；3.如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）A． B．C． D．参考答案：C试题分析：根据所给的三视图，可知该几何体为一个长方体和一个圆柱的组合体，故其容积为，故选C.考点：根据几何体的三视图求其体积.4.直线ax+by-1=0(a,b不全为0),与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有

（

）A.66条

B.72条

C.74条

D.78条参考答案：B5.已知直线m、l,平面α、β，且m⊥α,lβ，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l,则α∥β；④若m∥l,则α⊥β.其中正确命题的个数是（A）1

（B）2

（C）3

（D）4参考答案：答案：B6.集合，则A．

B．

C．

D．参考答案：D7.设为等比数列的前项和，若，则A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知，f（x）在x=x0处取得最大值，以下各式中正确的序号为（）①f（x0）＜x0；②f（x0）=x0；③f（x0）＞x0；④；⑤．A．①④ B．②④ C．②⑤ D．③⑤参考答案：B【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】求导函数，可得令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，代入验证，即可得到结论．【解答】解：求导函数，可得令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，∴﹣x0﹣1=lnx0∴f（x0）==x0，即②正确=∵﹣x0﹣1=lnx0，∴=x=时，f′（）=﹣＜0=f′（x0）∴x0在x=左侧∴x0＜∴1﹣2x0＞0∴＜0∴∴④正确综上知，②④正确故选B．【点评】本题考查导数知识的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．9.已知a<b函数，若命题，命题q:g(x)在(a，b)内有最值，则命题p是命题q成立的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略10.若函数同时具有以下两个性质:①是偶函数;②对任意实数x,都有。则的解析式可以是（

）A．=cosx B．=C．= D．=cos6x参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的部分图像如图所示，则参考答案：12.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边DC（包含点D、C）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足||=||，则?的取值范围是．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用．【分析】如图所示，设P（x，1），Q（2，y）（0≤x≤2，﹣2≤y≤0）．由于||=||，可得|x|=|y|，x=﹣y．可得?=x2﹣2x﹣y+1=x2﹣x+1，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，设P（x，1），Q（2，y）（0≤x≤2，﹣2≤y≤0）．∵||=||，∴|x|=|y|，∴x=﹣y．∵=（﹣x，﹣11），=（2﹣x，y﹣1），则?=﹣x（2﹣x）﹣（y﹣1）=x2﹣2x﹣y+1=x2﹣x+1=+=f（x），∴当x=时，则f（x）取得最小值．又f（0）=1，f（2）=3，∴f（x）的最大值为3．∴则?的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为

．参考答案：y=±2x．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由?=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴?=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．14.如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，则EB=

．参考答案：考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：立体几何．分析：连接OC，证明△AOD≌△COD，设EB=x，通过，列出方程求出x即可．解答： 解：连接OC则∠DOA=∠CBO=∠BCO=∠COD则△AOD≌△COD，则OC⊥CD，则CD是半圆O的切，设EB=x，由BC∥OD得，△EBC∽△EDO∴，则EC=2x，则（2x）2=x?（x+2），则．故答案为：．点评：本题考查三角形的全等与相似，考查逻辑推理能力．15.已知函数，若方程有且仅有两个解，则实数的取值范围是

.参考答案：略16.已知函数f（x）=ln，若f（）=1007（a+b），则a2+b2的最小值为．参考答案：2考点：对数函数的图像与性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：化简f（）=ln=ln；从而可得f（）=（ln）=ln（???…?）=lne2014=2014；从而再利用基本不等式求最值．解答：解：f（）=ln=ln；f（）=（ln）=ln（???…?）=lne2014=2014；故1007（a+b）=2014，故a+b=2；故a2+b2≥2?（）2=2；（当且仅当a=b=1时，等号成立）故答案为：2．点评：本题考查了对数函数的应用及基本不等式的应用，属于基础题．17.已知四面体P－ABC的外接球的球心在AB上，且面,,若四面体P－ABC的体积为，则两点间的球面距离为

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=mln（x+1），g（x）=（x＞﹣1）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求得F（x）的导数，讨论当m≤0时，当m＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；（Ⅱ）分别求出f（x），g（x）在切点处的斜率和切线方程，化为斜截式，可得y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线等价为=（1），mln（a+1）﹣=（2），有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0，消去a，得到b的方程，构造函数，求出导数和单调性，得到最值，即可得到a=b=0，公切线方程为y=x．【解答】解：（Ⅰ）F′（x）=f′（x）﹣g′（x）=﹣=（x＞﹣1），当m≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；…（2分）当m＞0时，令F′（x）＜0，可得x＜﹣1+，函数F（x）在（﹣1，﹣1+）上单调递减；F′（x）＞0，可得＞﹣1+，函数F（x）在（﹣1+，+∞）上单调递增．综上所述，当m≤0时，F（x）的减区间是（﹣1，+∞）；当m＞0时，F（x）的减区间是（﹣1，﹣1+），增区间是（﹣1+，+∞）…（4分）（Ⅱ）函数f（x）=mln（x+1）在点（a，mln（a+1））处的切线方程为y﹣mln（a+1）=（x﹣a），即y=x+mln（a+1）﹣，函数g（x）=在点（b，）处的切线方程为y﹣=（x﹣b），即y=x+．y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线所以=（1），mln（a+1）﹣=（2），有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0…（6分）由（1）得：a+1=m（b+1）2代入（2）消去a，整理得：2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1=0，关于b（b＞﹣1）的方程有唯一解…（8分）令t（b）=2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1，t′（b）=﹣=，方程组有解时，m＞0，所以t（b）在（﹣1，﹣1+）单调递减，在（﹣1+，+∞）上单调递增．所以t（b）min=t（（﹣1+）=m﹣mlnm﹣1．由b→+∞，t（b）→+∞；b→﹣1，t（b）→+∞，只需m﹣mlnm﹣1=0…（10分）令u（m）=m﹣mlnm﹣1，u′（m）=﹣lnm在m＞0为单减函数，且m=1时，u′（m）=0，即u（m）min=u（1）=0，所以m=1时，关于b的方程2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1=0有唯一解．此时a=b=0，公切线方程为y=x…（12分）【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论和转化思想的运用，以及构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．19.设,，满足．(1）求的最大值及此时取值的集合;(2）求的增区间．参考答案：(1）当时

的最大值为2,取最大值时的集合为．(2)所以，函数的单调递增区间为．20.（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），B（9，0），C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD（1）若AC=4，求直线CD的方程；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点．参考答案：【考点】圆的一般方程；直线的一般式方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）根据条件确定C，D的坐标，根据直线的两点式方程即可求直线CD的方程；（2）根据AC=BD，根据待定系数法表示出C，D的坐标，利用圆的一般式方程，即可得到结论．【解答】解：（1）若AC=4，则BD=4，∵B（9，0），∴D（5，0），∵A（﹣3，4），∴|OA|=，则|OC|=1，直线OA的方程为y=x，设C（3a，﹣4a），﹣1＜a＜0，则|OC|==5|a|=﹣5a=1，解得a=，则C（，），则CD的方程为，整理得x+7y﹣5=0，即直线CD的方程为x+7y﹣5=0；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点．设C（3a，﹣4a），﹣1＜a＜0，则|AC|===5|a+1|=5（a+1），则|BD|=|AC|=5（a+1），则D（4﹣5a，0），设△OCD的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵O（0，0），C（3a，﹣4a），﹣1＜a＜0，D（4﹣5a，0），∴圆的方程满足，即，则，解得E=10a﹣3，F=0，D=5a﹣4，则圆的一般方程为x2+y2+（5a﹣4）x+（10a﹣3）y=0，即x2+y2﹣4x﹣3y+5a（x+2y）=0，由，解得或，即：△OCD的外接圆恒过定点（0，0）和（2，﹣1）．【点评】本题主要考查直线方程的求解，以及圆的一般式方程的应用，利用待定系数法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21.已知椭圆，是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，点C在第一象限，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B，若的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的PQ的长．参考答案：(1)(2)【分析】（1）根据所给向量间的关系求出点的坐标，又由得出半长轴，再将点的坐标代入椭圆方程解出，则可得椭圆方程；（2）由题意可得，设，则，将的直线方程与椭圆联立解得的坐标，进而得到的坐标，从而由斜率公式求得，证得，可