2021-2022学年湖南省株洲市攸县第四中学高三数学文期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省株洲市攸县第四中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数满足，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C2.已知实数﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz=（）A．﹣8 B．±8 C． D．参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的性质可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解方程易得答案．【解答】解：由等比数列的性质可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解得xz=4，y=﹣2，（y=2时，和x2=﹣y矛盾），∴xyz=﹣8．故选：A3.（5分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）A．y=sin（2x﹣），x∈RB．y=sin（2x+），x∈RC．y=sin（+），x∈RD．y=sin（x﹣），x∈R参考答案：C【考点】：向量的物理背景与概念．【专题】：计算题．【分析】：先根据左加右减的性质进行平移，再根据横坐标伸长到原来的2倍时w的值变为原来的倍，得到答案．解：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x，得到函数：y=sin（x+）．故选C．【点评】：本题主要考查三角函数的平移变换．属基础题．4.在△ABC中,已知,,△ABC的面积为,则=（☆）A.

B.

C.

D.参考答案：C5.函数的零点个数为(

)

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B6.设集合，则（

）A． B． C．

D．参考答案：B略7.过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为

（

）A.1

B.

2

C.3

D.4参考答案：C略8.已知，且，则向量等于（

）A

B

C

D参考答案：D略9.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为（

）A．

B．-1C．

D．1参考答案：B略10.关于函数，下列叙述有误的是(

）A.其图象关于直线对称B.其图象关于点对称C.其值域是[－1,3]D.其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到参考答案：B【分析】利用正弦函数的图象与性质，逐个判断各个选项是否正确，从而得出。【详解】当时，，为函数最小值，故A正确；当时，，，所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；函数的值域为[－1,3]，显然C正确；图象上所有点的横坐标变为原来的得到，故D正确。综上，故选B。【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，牢记正弦函数的基本性质是解题的关键。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，则A∩Z中元素的个数为

▲

．参考答案：412.如图，△ABC中，，，，D是BC的中点，则的值为

．参考答案：13.设数列的前n项和为S，且，则=

▲

．参考答案：9

略14.设函数，①函数在R上有最小值；②当b＞0时，函数在R上是单调增函数；③函数的图象关于点（0，c）对称；④当b＜0时，方程有三个不同实数根的充要条件是b2＞4|c|．则上述命题中所有正确命题的序号是

．参考答案：②③④15.已知函数f（x）＝lnx－ax的图象在x＝1处的切线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数a的值为___________.参考答案：3试题分析：因为在处的导数值为在处切线的斜率，又因为，所以考点：利用导数求切线.16.命题“，”的否定为

▲

．参考答案：略17.【文科】若函数满足，且，则

_.参考答案：令，则，所以由得，即，即数列的公比为2.不设，则有，所以由，即，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．（I）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：【知识点】古典概型；离散型随机变量的分布列；数学期望.

K2

K6

K8（I）的最大值为，取得最大值的概率；（Ⅱ）则随机变量的分布列为：

…

数学期望为2.解析：（I）、可能的取值为、、，………1分，，，且当或时，．因此，随机变量的最大值为………………3分有放回摸两球的所有情况有种……6分

（Ⅱ）的所有取值为．时，只有这一种情况．时，有或或或四种情况，时，有或两种情况．，，………………8分

则随机变量的分布列为：

………………10分

因此，数学期望………………12分【思路点拨】（I）的表达式为，数组（x,y）有9个，且x、取值为、、，将x、y的取值代入的表达式得的最大值，据此可得取得最大值的概率；（Ⅱ）由（I）的方法可得的所以取值和取各值的概率，从而求得的分布列和数学期望．19.已知数列中，，前项和为（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求满足不等式的值．参考答案：解：（1）由，得当时 ∴，即

，∴（）------3分又，得，

∴，

∴适合上式∴数列是首项为1，公比为的等比数列∴

------------6分（2）∵数列是首项为1，公比为的等比数列，∴数列是首项为1，公比为的等比数列，∴

-----------…9分又∵，∴不等式＜

即得：＞，

∴n=1或n=2

…………12分

略20.（本小题满分12分）四棱锥P-ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,底面ABCD为菱形,∠BDA=60°(Ⅰ)证明:∠PBC=90°;（Ⅱ）若PB=3,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值参考答案：(1)略（Ⅱ）【知识点】空间向量及运算G9(1)取AD中点O,连OP.OB,由已知得:OP⊥AD,OB⊥AD,又OP∩OB=O,∴AD⊥平面POB,∵BC∥AD,∴BC⊥平面POB,∵PB?平面POB,∴BC⊥PB,即∠PBC=90°

(2)如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(1,0,0),B(0,,0),C(-2,,0),由PO=BO=,PB=3,得∠POB=120°,∴∠POZ=30°,∴P(0,-,),则=(-1,,0),=(-2,0,0),=(0,,-),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则,取z=,则n=(0,1,),设直线AB与平面PBC所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|=

【思路点拨】根据线面垂直证明直角，利用空间向量求出法向量求出正弦值。21.（本小题满分13分）国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元。

（I）写出v关于w的函数关系式；

（II）若把一颗钻石切割成重量比为1：x（）的两颗钻石，价值损失的百分率为y，写出y关于x的函数关系式；

（III）试证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大。

（注：价值损失的百分率=×100%，在切割过程中的重量损耗忽略不计）

参考答案：

略22.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，，是与的等差中项（）.（1）证明数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）因为是与的等差中项，所以（），即，（）

……………2分由此得（），…………4分又，所以（），

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

……………6分（2）由（1）得，即（），……………7分