辽宁省沈阳市第六十一中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

辽宁省沈阳市第六十一中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设O是△ABC内部一点，且，则△AOB与△AOC的面积之比为 A．4 B．1 C． D．参考答案：D略2.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，，则f(－1)＝()A．2

B．1

C．0

D．－2参考答案：D3.设,则“”是“”的（

）（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既非充分又非必要条件参考答案：B4.以下说法错误的是()A．“”是“充分不必要条件；B．?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；C．?m∈R，使f(x)＝是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；D．命题“?x∈R，x2＋1>3x”的否定是“?x∈R，x2＋1<3x”；参考答案：D5.已知x2+y2＝10,则3x+4y的最大值为（

）

A

5

B

4

C

3

D

2参考答案：A6.的（

）A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A略7.已知集合，，则

参考答案：C略8.

已知为第四象限的角，且，则=（

）A.-

B.

C.-

D.参考答案：A9.已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则（）A．2

B．4

C．5

D．7参考答案：B10.为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.75，则的最小值为（） A．9 B． C．3 D．参考答案：C【考点】茎叶图． 【分析】根据平均数的定义求出a+b=3，再利用基本不等式求出+的最小值． 【解答】解：根据茎叶图中的数据，该组数据的平均数为 =×（a+11+13+20+b）=11.75， ∴a+b=3； ∴+=（+） =+++ =++≥+2 =+2× =3， 当且仅当a=2b，即a=2，b=1时取“=”； ∴+的最小值为3． 故选：C． 【点评】本题考查了平均数的定义与基本不等式的应用问题，是基础题． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题p：?x∈R，x2+1＞0的否定是

．参考答案：?x∈R，x2+1≤0考点：命题的否定．专题：规律型．分析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可解答：解：∵命题“?x∈R，x2+1＞0”∴命题“?x∈R，x2+1＞0”的否定是“?x∈R，x2+1≤0”故答案为：?x∈R，x2+1≤0．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法，其规则是全称命题的否定是特称命题，书写时注意量词的变化．12.已知函数f（x）=，若x∈[2，6]，则该函数的最大值为

．参考答案：2【考点】函数单调性的性质．【分析】先求出函数的图象，得到函数的单调性，从而求出函数的最大值．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图示：，∴函数f（x）在[2，6]递减，∴函数f（x）最大值=f（2）=2，故答案为：2．13.设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记。当为钝角时，则的取值范围是

。参考答案：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则有，，，，则，得，所以，显然不是平角，所以为钝角等价于，即，即，解得，因此的取值范围是。14.若已知是奇函数，若且，则

参考答案：315.用数字“1，2”组成一个四位数，则数字“1，2”都出现的四位数有个．参考答案：14考点： 计数原理的应用．专题： 排列组合．分析： 本题需要分三类第一类，3个1，1个2，第二类，3个2，1个1，第三类，2个1，2个2，根据分类计数原理可得，或者利用列举法．解答： 解：方法一：1，2”组成一个四位数，数字“1，2”都出现的共3类，第一类，3个1，1个2，有3个1的排列顺序只有1种，把2插入到3个1所形成的4个间隔中，故有=4种，第二类，3个2，1个1，有3个2的排列顺序只有1种，把1插入到3个2所形成的4个间隔中，故有=4种，第三类，2个1，2个2，先排2个1只有一种，再把其中一个2插入到2个1只形成的3个间隔中，再把另一个2插入所形成的四个间隔中，2个2一样，故=6，根据分类计数原理，数字“1，2”都出现的四位数有4+4+6=14个方法二，列举即可，1112，1121，1211，2111，1122，1212，1221，2121，2112，2211，2221，2212，2122，1222，共14种故答案为14点评： 本题主要考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题16.一个正四棱柱的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为

。参考答案：17.已知非零向量序列：满足如下条件：||=2，?=﹣，且=（n=2，3，4，…，n∈N*），Sn=，当Sn最大时，n=

．参考答案：8或9考点：数列的求和；平面向量的基本定理及其意义．专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．分析：由已知条件采用累加法求得=+（n﹣1），求出?的通项公式，利用等差数列的性质进行求解即可．解答： 解：∵=，∴向量为首项为，公差为的等差数列，则=+（n﹣1），则?=?=2+（n﹣1）?=4（n﹣1）=，由?=≥0，解得n≤9，即当n=9时，?=0，则当n=8或9时，Sn最大，故答案为：8或9．点评：本题考查了数列递推式，训练了累加法去数列的通项公式，是中档题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若函数同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数，．当时，，则称此函数为D内的等射函数，设则：(1)在(－∞,+∞)的单调性为

(填增函数或减函数)；(2)当为R内的等射函数时，的取值范围是

．

参考答案：

略19.（本小题满分12分）已知函数常数且.(Ⅰ)若函在处的切线与直线垂直，求的值；(Ⅱ)若对任意都有求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）依题意，．…………2分

因为在处切线与直线垂直，所以．

解得．

…………4分

（Ⅱ）依题意，“对任意，”等价于“在上恒成立”．

令，则．

…………5分

（1）当时，，在上单调递减，

又，不合题意，舍去．

…………6分

（2）当时，得．

单调递减单调递增…………8分①当，即时，在上单调递增，得，由在上恒成立，得，即，又，得．…………10分②当，即时，由上表可知，由在上恒成立，得，即．令，则．由得或（舍去），

单调递增单调递减由上表可知在上单调递增，则，故不等式无解．综上所述，．…………12分20.(本题满分12分)如图，在直三棱柱中，，是中点.（I）求证：平面；（II）若棱上存在一点，满

足，求的长；（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.参考答案：(I)连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点，又为中点，所以为的中位线，所以

………………2分

又平面，平面所以平面

………………4分

（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系所以设，所以，因为，所以，解得，所以.

………8分（Ⅲ）因为，设平面的法向量为，则有，得，令则，所以可以取，

………………10分因为平面,取平面的法向量为

所以

平面与平面所成锐二面角的余弦值为

………………12分

21.(本小题满分12分)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立．求：(1)打满4局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E(ξ)．令Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．参考答案：(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满4局比赛还未停止22.已知函数f（x）=x3－ax+1．（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；（Ⅲ）若对任意m∈R，直线y=﹣x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．参考答案：（I）∵=x2﹣a.......................................................2当x=1时，f（x）取得极值，∴=1﹣a=0，a=1．......................3又当x∈（﹣1，1）时，＜0，x∈（1，+∞）时，＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，即a=1符合题意

.........................4

（II）当a≤0时，＞0对x∈（0，1]成立，∴f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．.........6当a＞0时，令=x2﹣a=当0＜a＜1时，，当时，＜0，f（x）单调递减，时，＞0，f（x）单调递增．所以f（x）在处取得最小值．........8当a≥1时，，x∈（0，1）时，＜0，f（x）单调递减所以f（x）在x=1处取得最小值．.................................10综上所述：当a≤0时，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．当0＜a