2022上海市向东中学高三数学理模拟试题含解析

2022上海市向东中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面直角坐标系中，若两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q两点关于直线y=x对称，则称点对P，Q是函数y=f（x）的一对“和谐点对”（注：点对{P，Q}与{Q，P}看作同一对“和谐点对”）已知函数f（x）=，则此函数的“和谐点对”有(

)A．0对 B．1对 C．2对 D．3对参考答案：C【考点】进行简单的合情推理；奇偶函数图象的对称性；反函数．【专题】新定义．【分析】作出f（x）=log2x（x＞0）关于直线y=x对称的图象C，判断C与函数f（x）=x2+3x+2（x≤0）的图象交点个数，可得答案．【解答】解：作出函数f（x）的图象，然后作出f（x）=log2x（x＞0）关于直线y=x对称的图象C，如下图所示：由C与函数f（x）=x2+3x+2（x≤0）的图象有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对．故选C【点评】本题考查的知识点是函数零点个数及判断，数形结合思想是解答本题的关键，而解答的核心在于将问题转化为函数图象的交点个数问题．2.等差数列的前项和为，且=，=，则公差等于A．

B．

C．

D．参考答案：CA3.已知定义在R上的函数满足且给出下列命题①是周期函数②的图象关于直线对称③的图象关于点对称④方程在区间内至少有8个根，其中正确的是（

）A.①②

B.①③

C.①②④

D.①③④参考答案：D略4.如右图，某几何体的主（正）视图与左（侧）视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是参考答案：C略5.已知集合，，若，则a的取值范围是（

）A．(－∞,3]

B．(－∞,4]

C．(3,4)

D．[3,4]参考答案：D由题意可得：，又，，∴,∴3≤a≤4故选：D

6.函数的图象大致是参考答案：A7.已知向量，，则在方向上的投影为（

）A.2

B.－2 C. D.参考答案：B向量，，∴，∴(?==-10，||==5；∴向量在向量方向上的投影为：||cos＜(，＞===﹣2．故选：B．

8.下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④已知向量=（3，﹣4），=（2，1），则向量在向量方向上的投影是．说法错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题①是考查特称命题的否定，特称命题的否定是全称命题；命题②先由“p且q为真”推出p、q的真假，然后判断“p或q”的真假，反之再加以判断；命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后在幂函数解析式中取x=4求值；命题④向量在向量的方向上的投影为：，即可得出结论．【解答】解：①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x≤0”，故①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不见得都真，所以不一定有“p且q为真”所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），所以2α=，所以α=﹣，所以幂函数为f（x）=，所以f（4）=，所以命题③正确；④∵向量=（3，﹣4），=（2，1），∴?=3×2+（﹣4）×1=2，||=，∴向量在向量的方向上的投影为：=，故④不正确．故选：C．9.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框中①应为

A．

B．

C．

D．(输出应加上S)参考答案：B10.在复平面内，复数的共轭复数的对应点在（

） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】D

=-i(i-1)=i+1的共轭复数为1-i所以对应的在第四象限故选D。【思路点拨】先化简再求共轭复数，确定结果。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知两个不同向量，，若，则实数____________．参考答案：12.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则此双曲线的离心率是____________；参考答案：因为焦点在轴上的双曲线的渐近线方程式，所以可设双曲线的方程为，整理得，所以有即所以，所以双曲线的离心率为。13.某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分，2分，1分，0分的学生所占比例分别为30%,40%,20%,10%，若全班30人，则全班同学的平均分是______分．参考答案：1.914.若是锐角，且，则的值是____________参考答案：

15.函数，使的的值是

.参考答案：－216.已知，，则

，

．参考答案：

17.已知是虚数单位，则▲.参考答案：【知识点】复数的基本运算.L41+i

解析：，故答案为.【思路点拨】在分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数再进行化简即可。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设向量，，x∈R，记函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（2）由已知可求sin（2A﹣）=，结合△ABC为锐角三角形，可得A，利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2+，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵=sinxcosx+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），…3分∴令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…5分（2）∵，∴sin（2A﹣）=，结合△ABC为锐角三角形，可得：2A﹣=，∴A=，…7分∵在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：2=b2+c2﹣bc≥（2﹣）bc，（当且仅当b=c时等号成立）∴bc≤=2+，又∵sinA=sin=，…10分∴S△ABC=bcsinA=bc≤（2+）=，（当且仅当b=c时等号成立）∴△ABC面积的最大值为…12分19.已知函数是定义在上的奇函数,当时,(其中e是自然界对数的底,)（1）求的解析式;（2）设，求证：当时，且，恒成立；（3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

参考答案：(1)(2)略(3)存在实数，使得当时，有最小值３解析：解：（1）设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以故函数的解析式为（2）证明：当且时，，设因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以

又因为，所以当时，，此时单调递减，所以所以当时，即

（3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，[来源:学&，不满足最小值是３（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，，也不满足最小值是３（ⅲ）当，由于，则，故函数是上的增函数．所以，解得（舍去）（ⅳ）当时，则当时，，此时函数是减函数；当时，，此时函数是增函数．所以，解得综上可知，存在实数，使得当时，有最小值３

略20.(本小题满分12分)已知函数(1)若直线与函数的图象相切，求实数的值；(2)若函数，，试证明>.参考答案：（1）

（1分）直线与函数的图象相切，可设切点坐标（）可得代入

解出

（3分）将切点坐标代入得

（5分）

（2）

（6分）

（7分）

说明

可以不是这个结构整理正确就可以赋相同分值

（8分）令

说明

可以不进行等量代换。构造他函数结构正确得1分，整理分析函数性质正确再得2分

应用性质并写清结论再得1分设

（9分）

（10分）在上单调递增，又在恒成立。在上单调递增，又在恒成立。

即时，>

（12分）

21.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=即可得出．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：+（y+1）2=9，展开为：x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可