2022上海市风华中学高三数学理月考试题含解析

2022上海市风华中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即CD=10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③；④.其中所有正确结论的编号是（

）A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③④参考答案：B【分析】利用勾股定理求出的值，可得，再利用二倍角的正切公式求得，利用两角和的正切公式求得的值.【详解】设，则，∵，∴，∴.即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴，由，解得（负根舍去）.∵，∴.故正确结论的编号为①③④.故选：B.【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于基础题.2.A．(1,2)∪(3，＋∞)B．(，＋∞)

C．(1,2)∪(，＋∞)

D．(1,2)参考答案：C略3.已知函数，若对于任意，都有成立，则的最小值为(

).A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.已知椭圆,作倾斜角为的直线交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点与的夹角为,且，则b=(

)A．1

B．

C.

D．参考答案：B本题考查椭圆的性质,考查推理论证和运算求解能力设,M,则，两式作差得.因为,所以.即.设直线的倾斜角为，则或，.又,由，解得,即.5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C试题分析：由程序框图知，由，，知输出的．故选C．考点：程序框图6.将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（

）种A．480

B．360

C．240

D．120参考答案：C第一步：先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球，有4种选法；第二步：从5个球里选出两个球放在刚才的盒子里，有种选法；第三步：把剩下的3个球全排列，有种排法，由乘法分步原理得不同方法共有种，故选C.

7.设P(x,y)是曲线x2+(y+4)2=4上任意一点，则的最大值为

(

）A．

B．

C．5

D．6参考答案：A8.设i是虚数单位,如果复数的实部与虚部是互为相反数,那么实数a的值为（）A．B．C．3D．－3参考答案：D9.已知集合，集合，则集合与集合的关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.数列｛an｝的通项公式为an＝4n－1，令bn＝，则数列｛bn｝的

前n项和为()A、n2

B、2n2＋4n

C、n2＋n

D、n2＋2n参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x，y∈[－，]，a∈R且则cos(x+2y)=

．参考答案：1解：2a=x3+sinx=(－2y)3－sin(－2y)，

令f(t)=t3+sint，t∈[－，]，f￠(t)=3t2+cost>0，即f(t)在[－，]上单调增．∴x=－2y．

∴cos(x+2y)=1．12.的值域为

；参考答案：

13.若

.参考答案：答案：14..若实数x，y满足则z=-x+5y的最小值为______．参考答案：12【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线由图像知当直线经过点时，直线截距最小此时最小，由得，得，则z的最小值为-3+5×3=12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15.某校安排小李等5位实习教师到一、二、三班实习，若要求每班至少安排一人且小李到一班，则不同的安排方案种数为．（用数字作答）参考答案：50【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；分类讨论；定义法；排列组合．【分析】分类讨论，一班安排小李，一班安排2人，一班安排3人，利用组合知识，即可得出结论．【解答】解：若一班安排小李，则其余4名安排到二、三班，有C41+C42+C43=14种；若一班安排2人，则先从其余4名选1人，其余3名安排到二、三班，有C41（C31+C32）=24种；若一班安排3人，则先从其余4名选2人，其余2名安排到二、三班，有C42A22=12种；故共有14+24+12=50种．故答案为：50．【点评】本题考查排列组知识的运用，考查分类计数原理，正确分类是关键．16.已知两个点M(-5,0)和N(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：①y=x+1;②；③y=2；④y=2x+1．其中为“B型直线”的是

___

．（填上所有正确结论的序号）参考答案：①③17.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为菱形，，平面底面，是的中点，为上的一点．（1）求证：平面平面；（2）若平面，求的值．参考答案：（1）证明：设菱形的边长为1，是的中点，，，，，，平面底面，平面底面，，平面，又,平面平面；（2）解：连接，交于，连接，则平面，平面平面，，.19.（本小题满分10分）已知函数的图象与的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点之间的距离为（1）求的解析式；（2）设，当时，求函数的值域。参考答案：20.（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求证：．参考答案：【考点】不等式的证明．【专题】选作题；转化思想；演绎法；不等式．【分析】（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，即可求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，则|2x+3y|，∴﹣≤2x+3y≤．（Ⅱ）证明：由a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，得（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2=3，由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2得证：18≥（2a﹣b﹣c）2，所以．【点评】本题考查柯西公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.设命题:实数满足,其中；命题实数满足.（1）若且为真,求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.参考答案：（1）；（2）.试题分析：（1）命题是一元二次不等式，解得，即.命题是分数不等式，解得，为真，也就是这两个都是真命题，故取它们的交集得；（2）是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件，即是的真子集，故，即.试题解析：(2)是的充分不必要条件,即,且,

等价于,且,……8分设A=,B=,则BA;……10分则0<,且所以实数的取值范围是.………………12分考点：一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性的判断．22.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交轴于点，求直线PQ的斜率.参考答案：（1）（2）或【分析】（1）由题得到关于a,b,c的方程，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，线段的中