2116闭区间上连续函数的性质

§2.6

闭区间上连续函数的性质一.最大值和最小值定理（有界性定理）二.介值定理（零点存在定理）若f(x)c([a,b]),

则它在[a,b]上,必有最大值m和最小值m.定理最大值和最小值定理

此定理中有两点需要注意：闭区间与函数连续，即在开区间（a,b）内连续，或在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有最大值或最小值.例如,y=x

在

(1,3)

内连续,但它不能取到它的最大值和最小值.若

f

(x)c([a,b]),则

f

(x)在[a,b]上有界.

xyaa1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)o推论有界性定理二.介值定理axyy=f(x)f(a)bf(b)of

(x)c([a,b]),f

(a)f

(b)<0,f

()＝0.先看一个图

描述一下这个现象(零点存在定理)则至少存在一点

(a,b),使得f

()＝0.设f

(x)c([a,b]),且

f

(a)

f

(b)<0,axyy=f(x)f(a)bf(b)o定理f(a)=af(b)=byy=f(x)f()=c下面看看,坐标平移会产生什么效果.xxxxoabx如何描述这个现象?(介值定理)设f

(x)c([a,b]),m，m分别为f

(x)在[a,b]上的最大值和最小值，则对于任意数c[m,m],至少存在一点

[a,b],使得

f()=c.定理ymcmoax1x2bx令f

(x)=f

(x)c

故由零点存在定理,至少存在一点[a,b]使则f

(x)c([x1,x2])c在

m,m之间

f(x1)f(x2)=(f

(x1)c)(f

(x2)

c)=(mc)(mc)证：f

()=0,即

f

()=c. 不妨设m<m,且f

(x1)=m,f

(x2)=m则x1≠

x2,不妨设x1<x2,则[x1,

x2]∪[a

,b

]ymcmoax1x2bx<0最大、最小值定理介值定理？引入设f(x)c([a,b]),则

f(x)取得值

m之间的任何一个值.推论介于其在

[a,b]上的最大值

m和最小设

f

(x)c([a,b]),证明:至少存在一点

[x1,xn],使得例a<x1<x2<…<xn<b,由介值定理,至少存在一点[x1,xn],使证证明方程x5–3x=1,在

x=1与x=2之间令f

(x)=x5–3x–1,x[1,2],则f

(x)c([1,2]),又f

(1)=–3,f

(2)=25,

f

(1)f

(2)

<0,即

方程在x=1与x=2之间至少有一根.由零点存在定理，至少存在一个(1,2),使得

f(

)=0,至少有一根.例证至少有一个不超过

a+b的正根.证明方程x=a

sinx+b

(a

>0,b

>0)设

f(x)=xasinxb

,x[0,a+b],则

f(x)c([0,a+b]),而

f

(0)=0–asin0–b

=–b

<0,f

(a+b)=(a+b)–asin(a+b)–b,=a(1sin(a+b))0,例证1)如果f

(a+b)＝0,则

=a+b

就是方程的根.即方程至少有一个不超过a+b的正根.定理,至少存在一个(0,a+b),使得f

()=0.2)如果f

(a+b)>0,则

f

(0)f

(a+b)<0,由零点存在综上所述,方程在(0,a+b]上至少有一个根,求函数(数列)极限的几种类型求函数(数列)极限的几种类型求函数(数列)极限的几种类型第二章极限与连续本章学习要求：了解数列极限、函数极限的概念，理解函数极限极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的