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三、二阶线性常系数微分方程的解法二阶线性常系数齐次方程的标准形式二阶线性常系数非齐次方程的标准形式其中p,q

为实常数.（一）二阶线性常系数齐次方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根1.有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为2.有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为3.有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1解特征方程为解得故所求通解为例2解特征方程为解得故所求通解为小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.（二）二阶线性常系数非齐次方程解法二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构难点：如何求特解？方法：待定系数法.常见类型为下列形式设非齐次方程特解为代入原方程1、型综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.解对应齐次方程通解对应齐次方程的特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例1例2例3例420解对应齐方程通解作辅助方程代入非齐次方程得所求非齐方程特解为原方程通解为例6对应齐次方程的特征方程特征根解对应齐次方程通解作辅助方程代入非齐次方程得例7所求非齐方程特解为原方程通解为解对应齐次方程特征方程例8特征根例9满足初始条件例.且满足方程提示:

则问题化为解初值问题:最后求得根据线性非齐次方程解的结构知方程(4)的通解为它的一个特解与其所对应的齐次方程(3)的通解的和,即.四、高阶线性常系数方程n阶线性常系数微分方程的一般形式是其中是常数,自由项是一连续函数.将其代入方程(3)得故有特征方程特征方程的根微分方程对应的解

单实根

一个解:k重单实根k个线性无关解:一对单重复根两个线性无关解:一对k重复根2k个线性无关解:特征根为故所求通解为解特征方程为Bn阶线性常系数非齐次微分方程若右端项特征根为齐次方程通解为解对应的齐次方程的特征方程为例即非齐次方程通解为练习解:(1)特征方程有二重根所以设非

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