初三数学暑期讲义 第2讲.二次函数的基本解析式与图象变换 教师版

夯实基础⑴将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A．B．C．D．（2012东城期中）⑵将抛物线经过怎样的平移可得到抛物线（）A．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位（2013海淀期末）在平面直角坐标系中，将抛物线向上（下）或向左（右）平移了个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．6（2012陕西省）⑶如图所示，已知抛物线C0的解析式为，则抛物线C0的顶点坐标；将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1、C2、C3、…、Cn（n为正整数），则抛物线Cn的解析式为． （2012邵阳）⑴B；⑵C；⑶B；⑷，能力提升能力提升如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且过点．⑴写出抛物线与轴的另一个交点的坐标；⑵将抛物线向右平移3个单位、再向上平移个单位得抛物线，求抛物线的解析式；⑶直接写出阴影部分的面积． （2012广安）⑴；⑵．⑶易得，则；抛物线的对称性和平移的性质可知．二、二次函数图象的对称知识导航知识导航二次函数图象的对称1．关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；2．关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；3．关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；4．关于顶点对称※学生版不给关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．5．关于点对称※学生版不给关于点对称后，得到的解析式是．夯实基础夯实基础⑴抛物线：与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（）A． B． C． D．（东城期末）⑵在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．B．C．D．(2013年山东宁阳一模)⑶将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（）A． B． C．D．（密云期末）⑴D；⑵C；⑶C．能力提升能力提升如图，已知抛物线：的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左侧），点的横坐标是．⑴求的值；⑵如图，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，抛物线的顶点为，当点、关于点成中心对称时，求抛物线的解析式．（丰台期末）⑴∵点是抛物线与轴的交点，横坐标是1，∴点的坐标为．∴当时，．∴．⑵设抛物线解析式为，∵抛物线与关于轴对称，且为向右平移得到，∴．∵点、关于点对称，且点的坐标为，∴点的坐标为．∴抛物线的解析式为．二次函数的图象沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，得到的图象的函数解析式为，则与分别等于．相当于将向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到【解析】，．把二次函数的图象经过翻折、平移得到二次函数的图象，下列对此过程描述正确的是（）A．先沿轴翻折，再向下平移个单位 B．先沿轴翻折，再向左平移个单位C．先沿轴翻折，再向左平移个单位 D．先沿轴翻折，再向右平移个单位（通州期末）弄错变换规律．【解析】D．建议：易错点内容只是给出范例，对于不同学生易错点不同，教师可根据班级错误情况自行总结．第02讲精讲：二次函数平移问题探究【变式1】向右平移1个单位，再向上平移3个单位所得到的函数图象解析式为.【解析】.【变式2】怎样平移：的图象，可以得到：？【解析】的解析式为∴的顶点坐标为

的解析式为∴的顶点坐标为将二次函数图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，就可得到二次函数的图象.【变式3】已知：抛物线与轴交于点，顶点是点，过点作轴于点．平移该抛物线，使其经过两点．求平移后抛物线的解析式及其与轴另一交点的坐标；【解析】∵；∴，，；设平移后的抛物线解析式为；将代入可得；∴平移后的抛物线解析式为.【变式4】抛物线的顶点为，作轴交抛物线于点，如图所示，求阴影部分面积.【解析】连接，易得.【变式5】将变式4中的抛物线向右平移个单位后，所得的抛

物线恰好经过点．【解析】【变式6】在变式4的基础上，设点是直线上的一个点，如果，求出点的坐标．【解析】易得直线解析式为；∵是直线上的一个点，且，①作轴，交直线于点；∴，，∴点的横坐标为3，代入可得∴点；②由①可得，设；即∴，；∴点、.【变式7】抛物线F：的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．若a、b、c满足了，探究四边形OABC的形状，并说明理由．（2009年大连、2012年海淀一模）【解析】抛物线，令=0，则=，∴A点坐标（0，c）．∵，∴，∴点P的坐标为（）．∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）．根据题意，得a=a′，c=c′，∴抛物线F′的解析式为．又∵抛物线F′经过点D（），∴．∴．又∵，∴．∴b:b′=．∴抛物线F′为．令y=0，则．∴．∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．设直线OP的解析式为．∵点P的坐标为（），∴，∴，∴．∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．∴．∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．把代入，得．∴点B的坐标为．∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC=OA），∴四边形OABC是平行四边形．又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．

思维拓展训练(选讲)思维拓展训练(选讲)在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，且经过，．求出抛物线的解析式．（延庆一模）∵抛物线的对称轴为，设抛物线的解析式为，根据题意得解得：，∴抛物线的解析式为．二次函数的图象的顶点到轴的距离为，求二次函数解析式．二次函数的顶点为所以，即或，解得，；（无解）故二次函数的解析式为或．如图，抛物线②是由抛物线①平移后得到的．⑴分别求出抛物线①和抛物线②的解析式；⑵抛物线①的对称轴与抛物线②交于点，求点的坐标．（朝阳期末）⑴由图可知，抛物线①经过点，且顶点是．可设抛物线①的解析式为，∴，解得．∴抛物线①的解析式为．∵抛物线②是由抛物线①平移后得到的，且顶点为坐标原点，∴抛物线②的解析式为．⑵∵抛物线①的对称轴，∴当时，．∴点的坐标为．已知二次函数，求二次函数：⑴关于轴对称的二次函数解析式；⑵关于轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．⑴二次函数解析式转化为顶点式为，顶点坐标为，关于轴对称后顶点坐标为，开口大小不变，方向改变，则对称后的解析式是，即；⑵关于轴对称后顶点坐标为，开口大小和方向不变，则对称后的解析式是，即；⑶关于原点对称后顶点坐标为，开口大小不变，方向改变，则对称后的解析式是，即．实战演练实战演练知识模块一二次函数的解析式课后演练已知二次函数中的满足下表：…………求这个二次函数的解析式．依题意，设抛物线的解析式为．∵抛物线与轴交于点，∴．解得．∴抛物线的解析式为．根据条件求二次函数的解析式.⑴抛物线过，，三点；⑵抛物线在轴上截得的线段长为，且顶点坐标是.⑴设抛物线的解析式为，把代入解析式得，所以所求抛物线的解析式为．⑵设抛物线的解析式为，点在抛物线上，代入得，所以所求抛物线的解析式为．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，求抛物线的解析式．（崇文一模）∵抛物线与轴交点，且．∴，．代入，得∴，∴抛物线的解析式为．知识模块二二次函数的图象变换课后演练⑴将抛物线向上平移个单位，所得抛物线的解析式为（）A． B．C． D．（昌平期末）⑵已知函数的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线先后向上、向左平移2个单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（）．A． B． C．D．（宣武期末）⑶把二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，就可得到函数的图象．（大兴期末）⑴A．⑵A．⑶．已知二次函数，求：⑴与此二次函数关于轴对称的二次函数解析式为；⑵与此二次函数关于轴对称的二次函数解析式为；⑶与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为．⑴．⑵．⑶．课后测课后测抛物线与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点．求抛物线的解析式．（房山期末）∵抛物线过点和，则解得∴所求抛物线的解析式为．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是，求这个二次函数的解析式．（大兴期末）∵顶点坐标是∴设这个二次函数的解析式为∵二次函数的图象过坐标原点，∴ ，∴这个二次函数的解析式是，即．把抛物线沿轴向上或向下平移后所得抛物线经过点，求平移后的抛物线的解析式．设平移后所得抛物线的解析式为，把代入得，∴．∴平移后的抛物线的解析式为．设曲线为函数的图象，关于轴对称的曲线为，关于轴对称的曲线为，则曲线的函数解析式为________________．先关于轴对称，再关于轴对称，相当于将关于原点对称得到，则的解析式为．目标决定成就伯尼•目标决定成就伯尼•马科斯是新泽西州一个贫穷的俄罗斯人的儿子。亚瑟•布兰克生长在纽约的中下层街区，在那儿，他曾与少年犯为伍。当他15岁时，父亲去世。布兰克说：“在我的成长过程中，我一直确信生活不是一帆风顺的。”1978年，布兰克和马科斯在洛杉矶一家硬件零售店工作时，被新来的老板解雇了。第二天一位从事商业投资的朋友建议他们自己办公司。马科斯说：“一旦我不再沉浸在痛苦中，我便发现这个主意并不是妄想。”现在，马科斯和布兰克经营的家庭库房设备，其销售额在美国迅猛发展的家用设备行业中处于领先地位。马科斯说：“当你绝望时，你有人生目标吗？我问了55名成功的企业家，40名都确切地回答：有！”你必须有目标，为你的目标而努力。辛勤工作并不表示你真正投入工作了。同样砌砖墙，有的人默默埋头苦干，觉得工作很无聊，但还是认命地做下去；有的人却一面砌，一面想像这座墙砌成后的面貌，上面也许会爬满玫瑰花，孩子们也许会攀在墙头看风景等，他努力砌墙的同时，眼睛已经看