圆中垂径定理牛道口

24.1垂径定理牛道口中学九年级数学备课组问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境·OABCDE把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？活动一可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ

重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①直径过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧题设结论DOABEC垂径定理将题设与结论调换过来，还成立吗？这五条进行排列组合，会出现多少个命题？①直径过圆心③平分弦②垂直于弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论DOABEC已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分ＡＢ及ＡＣＢ⌒⌒·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．即ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒③AM=BM,由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,由①CD是直径③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得ＤＣＡＢMＯ几何语言表达垂径定理：推论：垂径定理的几个基本图形判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦()②平分弦的直线必垂直弦()③垂直于弦的直径平分这条弦()④平分弦的直径垂直于这条弦()⑤弦的垂直平分线是圆的直径()⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦()⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧()辨别是非CDABE已知：AB．求作：AB的中点．⌒⌒点E就是所求AB的中点．⌒作法：1．连结AB．2．作AB的垂直平分线CD，交AB于点E．⌒小练习ABCDE已知：AB．求作：AB的四等分点．⌒⌒作法：1．连结AB．3．连结AC．2．作AB的垂直平分线，交AB于点E．⌒4．作AC的垂直平分线，交AC于点F．⌒5．点G同理．点D、C、E就是AB的四等分点．⌒ABC作AC的垂直平分线作BC的垂直平分线这种方法对吗？等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．×CABO你能确定AB的圆心吗？⌒作法：1．连结AB．2．作AB的垂直平分线，交AB于点C．⌒3．作AC、BC的垂直平分线．4．三条垂直平分线交于一点O．点O就是AB的圆心．⌒你能破镜重圆吗？ABCmnO作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．作法：依据：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．解得：R≈27．9（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在图中如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是ＡＢ的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒解：1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.例2如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。求水的最大深度.ED┌

若水面又上升1厘米,求此时水面的宽度1．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（）A．3B．6cmC．cmD．9cm2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3<OM<5D．4<OM<5．ABOMAA目标训练3：如图，圆O的弦AB＝8㎝，DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。CABDOE1、同心圆O中，大圆的直径AB交小圆于点C、D，请问AC=BD吗？2、如果把AB向下平移，弦AB仍然交小圆于点C、D，此时图中还有哪些相等的线段？为什么？应用：BAOCDE若两圆半径分别为5cm和，弦AB=8cm,则AC=

cm.

1在圆中研究有关弦的问题时，常过圆心作垂直于弦的垂线段，利用垂径定理来证明线段相等、弧相等,利用勾股定理列方程进行计算.

BAOCD5．弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为________．cmPO

⊙O的半径是2，P是⊙O内的一点，OP=1,过P的最长的弦=___,过P的最短的弦=___BA3．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为

．4．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，BC=4，求MN的长．2或14．ACOMNB五、目标训练2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为