一元二次方程基础知识训练3

第19页（共19页）二次方程基础知识训练卷一．选择题（共10小题）1．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣4 B．k＞﹣3 C．k＞﹣3且k≠1 D．k≥﹣3且k≠12．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠03．方程x2﹣3x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个相等实根 B．有两个不等实根 C．没有实根 D．以上答案都有可能4．若关于x的方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．3 B．2 C．1 D．05．一元二次方程3x2﹣2x+4＝0，它的根的情况为（）A．两根之和为﹣ B．两根之积为 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根6．某展览馆计划将长60m，宽40m的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是面积为1500m2的一个矩形展览区，四周留有等宽的通道（如图所示），求通道的宽．设通道的宽为xm，根据题意列方程正确的是（）A．（60﹣2x）（40﹣2x）＝1500 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1500 C．（60﹣x）（40﹣2x）＝1500 D．（60﹣x）（40﹣x）＝15007．2022年，某省新能源汽车产能达到30万辆．到了2024年，该省新能源汽车产能将达到41万辆，设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x．则根据题意可列出的方程是（）A．30（1+2x）＝41 B．30（1+x）2＝41 C．30+30（1+x）+30（1+x）2＝41 D．30+30（1+x）2＝418．国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2020年至2022年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元．设我国2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．7500（1+2x）＝9000 B．7500（1+x）＝9000 C．7500（1+x）2＝9000 D．7500+7500（1+x）+7500（1+x）2＝90009．小区有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域进行绿化（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝20 B．x2﹣3x+18＝0 C．（x﹣1）（x﹣2）＝20+2 D．x2﹣3x﹣18＝010．某口罩厂10月份的口罩产量为24万只，因预防疫情需要，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万只．设该厂11、12月份的口罩产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（）A．88（1+x）2＝24 B．88（1﹣x）2＝24 C．24（1+x）2＝88 D．24+24（1+x）+24（1+x）2＝88二．填空题（共13小题）11．已知（x2+y2+1）2﹣9＝0，则x2+y2＝．12．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝．13．已知a、b是实数，且满足（a2+b2）2+3（a2+b2）﹣4＝0，a2+b2＝．14．若关于x的一方二次方程x2﹣x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．15．若直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0根的存在情况是．16．若a，b，c是△ABC的三边，则关于x的方程（a+b）x2﹣2cx+a+b＝0的根的情况是．17．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．18．关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个相等实数根，则m＝．19．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了40元．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程是．20．喜迎2022年10月16日“二十大”的召开，某公司为了贯彻“发展低碳经济，建设美丽中国”的理念，对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司七月份的产值为200万元，第三季度的产值为720万元，设公司每月产值的平均增长率相同且为x，则根据题意列出的方程是．21．某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，每个支干长出小分支的个数是．22．某医药厂两年前生产1t某种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1t该种药品的成本是3000元．设该种药品生产成本的年平均下降率为x，列出方程．23．两只小鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼠相距．三．解答题（共15小题）24．（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝63，求x2+y2的值．（2）已知，求a+3b的值．25．解方程：（1）x2+4x＝2；（2）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2＝0．26．解方程：（1）2y2＝3y+1；（2）（x﹣2）2﹣4（x﹣2）﹣5＝0．27．关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）若k为（1）中的最大整数，请求出此时方程的根．28．已知关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．29．已知关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值．30．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．31．（1）解方程x2﹣x﹣6＝0；（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，求m的取值范围．32．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．33．为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；（2）2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过115.2万元，并且采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，请求出所需经费最少的采购方案．34．为满足师生阅读需求，某校图书馆的藏书量不断增加，2019年年底的藏书量为5万册，2021年年底的藏书量为7.2万册．（1）求该校这两年藏书的年均增长率；（2）假设2022年该校藏书的年均增长率与前两年相同，请你预测到2022年年底该校的藏书量是多少？35．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．①若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？②当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？36．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件，当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售价格为x元/件（x＞40），请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元．（2）在第（1）间的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具的销售价格应定为多少元/件．37．一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40千克．（1）若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式表示）？（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出230千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？38．2022年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋，（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣4 B．k＞﹣3 C．k＞﹣3且k≠1 D．k≥﹣3且k≠1【解答】解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝16+4（k﹣1）＝4k+12＞0，且k﹣1≠0，解得：k＞﹣3且k≠1．故选：C．2．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0且k≠0，解得k＞﹣1且k≠0，故选：D．3．方程x2﹣3x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个相等实根 B．有两个不等实根 C．没有实根 D．以上答案都有可能【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）＝29＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．4．若关于x的方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4a＞0，解得a＜1，所以a可以取0．故选：D．5．一元二次方程3x2﹣2x+4＝0，它的根的情况为（）A．两根之和为﹣ B．两根之积为 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根【解答】解：∵a＝3，b＝﹣2，c＝4，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×4＝﹣44＜0，∴该方程没有实数根．故选：C．6．某展览馆计划将长60m，宽40m的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是面积为1500m2的一个矩形展览区，四周留有等宽的通道（如图所示），求通道的宽．设通道的宽为xm，根据题意列方程正确的是（）A．（60﹣2x）（40﹣2x）＝1500 B．（60﹣2x）（40﹣x）＝1500 C．（60﹣x）（40﹣2x）＝1500 D．（60﹣x）（40﹣x）＝1500【解答】解：设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为（60﹣2x）米，宽为（40﹣2x）米，根据题意得：（60﹣2x）（40﹣2x）＝1500，故选：A．7．2022年，某省新能源汽车产能达到30万辆．到了2024年，该省新能源汽车产能将达到41万辆，设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x．则根据题意可列出的方程是（）A．30（1+2x）＝41 B．30（1+x）2＝41 C．30+30（1+x）+30（1+x）2＝41 D．30+30（1+x）2＝41【解答】解：设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x，根据题意得，30（1+x）2＝41，故选：B．8．国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2020年至2022年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元．设我国2020年至2022年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．7500（1+2x）＝9000 B．7500（1+x）＝9000 C．7500（1+x）2＝9000 D．7500+7500（1+x）+7500（1+x）2＝9000【解答】解：设平均增长率为x，根据题意得：7500（1+x）2＝9000，故选：C．9．小区有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域进行绿化（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝20 B．x2﹣3x+18＝0 C．（x﹣1）（x﹣2）＝20+2 D．x2﹣3x﹣18＝0【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝20，化简后，得x2﹣3x﹣18＝0，故选：D．10．某口罩厂10月份的口罩产量为24万只，因预防疫情需要，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万只．设该厂11、12月份的口罩产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（）A．88（1+x）2＝24 B．88（1﹣x）2＝24 C．24（1+x）2＝88 D．24+24（1+x）+24（1+x）2＝88【解答】解：∵某口罩厂10月份的口罩产量为24万只，且该厂11、12月份的口罩产量的月平均增长率为x，∴该口罩厂11月份的口罩产量为24（1+x）万只，12月份的口罩产量为24（1+x）2万只，又∵该口罩厂第四季度的总产量要达到88万只，∴根据题意可列方程为24+24（1+x）+24（1+x）2＝88．故选：D．二．填空题（共13小题）11．已知（x2+y2+1）2﹣9＝0，则x2+y2＝，2．【解答】解：（x2+y2+1）2﹣9＝0，设x2+y2＝a，则原方程化为（a+1）2﹣9＝0，（a+1）2＝9，a+1＝±3，解得：a＝2或﹣4，当a＝2时，x2+y2＝2；当a＝﹣4时，x2+y2＝﹣4，∵不论x、y为何值，x2+y2≥0，∴x2+y2＝﹣4舍去，综合上述：x2+y2＝2，故答案为：2．12．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝2．【解答】解：（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，设a2+b2＝x，则原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或﹣1，当x＝2时，a2+b2＝2，当x＝﹣1时，a2+b2＝﹣1，∵不论a、b为何值，a2+b2都不能为负数，∴此时不符合题意，舍去，即a2+b2＝2，故答案为：2．13．已知a、b是实数，且满足（a2+b2）2+3（a2+b2）﹣4＝0，a2+b2＝1．【解答】解：设t＝a2+b2（t≥0），由原方程，得t2+3t﹣4＝0，整理，得（t+4）（t﹣1）＝0，解得t＝﹣4（舍去）或t＝1．所以a2+b2＝1．故答案是：1．14．若关于x的一方二次方程x2﹣x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞﹣1．【解答】解：由题意可知：Δ＝1+4×a＝1+a＞0，∴a＞﹣1，故答案为：a＞﹣1．15．若直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0根的存在情况是有两个不相等的实数根．【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，ax2﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，∴a＜0，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×a×1＝9﹣4a＞0，则关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的实数根．16．若a，b，c是△ABC的三边，则关于x的方程（a+b）x2﹣2cx+a+b＝0的根的情况是没有实数解．【解答】解：∵a+b≠0，∴Δ＝（﹣2c）2﹣4（a+b）2＝4[c2﹣（a+b）2]，∵a，b，c是△ABC的三边，∴a+b＞c＞0，∴（a+b）2＞c2，即Δ＜0，∴关于x的方程（a+b）x2﹣2cx+a+b＝0没有实数解．故答案为：没有实数解．17．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜2且k≠1．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，解得k＜2且k≠1，所以k的取值范围是k＜2且k≠1．故答案为：k＜2且k≠1．18．关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个相等实数根，则m＝﹣．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（﹣1）2﹣4×1×（﹣m﹣2）＝0，解得m＝﹣．故答案为：﹣．19．某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的60元降到了40元．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程是60（1﹣x）2＝40．【解答】解：依题意得：60（1﹣x）2＝40．故答案为：60（1﹣x）2＝40．20．喜迎2022年10月16日“二十大”的召开，某公司为了贯彻“发展低碳经济，建设美丽中国”的理念，对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司七月份的产值为200万元，第三季度的产值为720万元，设公司每月产值的平均增长率相同且为x，则根据题意列出的方程是200+200（1+x）+200（1+x）2＝720．【解答】解：∵七月份的营业额为200万元，平均每月的增长率为x，∴八月份的营业额为200（1+x）万元，∴九月份营业额为200（1+x）2万元，∴可列方程为200+200（1+x）+200（1+x）2＝720，故答案为：200+200（1+x）+200（1+x）2＝720．21．某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，每个支干长出小分支的个数是15．【解答】解：设每个支干长出小分支的个数是x，依题意得：1+x+x2＝241，整理得：x2+x﹣240＝0，解得：x1＝15，x2＝﹣16（不符合题意，舍去），∴每个支干长出小分支的个数是15．故答案为：15．22．某医药厂两年前生产1t某种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1t该种药品的成本是3000元．设该种药品生产成本的年平均下降率为x，列出方程5000（1﹣x）2＝3000．【解答】解：依题意得：5000（1﹣x）2＝3000．故答案为：5000（1﹣x）2＝3000．23．两只小鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼠相距100cm．【解答】解：设10分钟之后两只小鼠相距xcm，依题意得：x2＝（8×10）2+（6×10）2，解得：x1＝100，x2＝﹣100（不合题意，舍去）．∴10分钟之后两只小鼠相距100cm．故答案为：100cm．三．解答题（共15小题）24．（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝63，求x2+y2的值．（2）已知，求a+3b的值．【解答】解：（1）设x2+y2＝z，则原方程换元为（z+1）（z﹣1）＝63，∴z2＝64，解得：z1＝8，z2＝﹣8，即x2+y2＝8或x2+y2＝﹣8（不合题意，舍去），∴x2+y2＝8．（2）∵，∴+（b﹣3）2＝0，∴a＝﹣1，b＝3．∴a+3b＝﹣1+3×3＝8．25．解方程：（1）x2+4x＝2；（2）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2＝0．【解答】解：（1）x2+4x＝2，x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6，∴x+2＝，∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．（2）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2＝0，（2x﹣1+1）（2x﹣1+2）＝0，∴2x＝0或2x+1＝0，∴x1＝0，x2＝﹣．26．解方程：（1）2y2＝3y+1；（2）（x﹣2）2﹣4（x﹣2）﹣5＝0．【解答】解：（1）2y2＝3y+1，2y2﹣3y﹣1＝0，这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴方程有两个实数根，x＝＝，解得：x1＝，x2＝；（2）（x﹣2）2﹣4（x﹣2）﹣5＝0，设x﹣2＝a，则方程变形为：a2﹣4a﹣5＝0，（a﹣5）（a+1）＝0，解得：a＝5或﹣1，当a＝5时，x﹣2＝5，解得：x＝7；当a＝﹣1时，x﹣2＝﹣1，解得：x＝1，所以原方程的解是x1＝﹣7，x2＝1．27．关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）若k为（1）中的最大整数，请求出此时方程的根．【解答】解：（1）根据根的判别式的意义得k﹣1≠0且Δ＝42﹣4（k﹣1）＞0，解得k＜5且k≠1，所以k的取值范围为k＜5且k≠1；（2）k的最大整数值为4，当k＝4时，方程化为3x2+4x+1＝0，（3x+1）（x+1）＝0，3x+1＝0或x+1＝0，解得x1＝﹣，x2＝﹣1．28．已知关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝k，c＝k﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（k﹣1）＝（k﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2+kx+k﹣1＝0，即（x+1）[x+（k﹣1）]＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝1﹣k．又∵该方程有一个根是正数，∴1﹣k＞0，∴k＜1，∴当该方程有一个根是正数，k的取值范围为k＜1．29．已知关于x的一元二次方程kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0）．（1）求证：不论k为何值，这个方程都有两个实数根；（2）若此方程的两根均整数，求整数k的值．【解答】（1）证明：Δ＝（k﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝（k+2）2，∵（k+2）2≥0，∴Δ≥0，∴不论k为何值，这个方程都有两个实数根；（2）解：kx2+（k﹣2）x﹣2＝0（k≠0），（kx﹣2）（x+1）＝0，解得x1＝，x2＝﹣1，因为该方程的两根均整数，所以为整数，所以整数k为±1或±2．30．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣k）2﹣4（k﹣1）＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，该方程总有实数根；（2）解：解方程x2﹣kx+k﹣1＝0得x1＝k﹣1，x2＝1，当k﹣1＝1时，k＝2，因为1+1＝2，不符合三角形三边的关系，舍去；当k﹣1＝2时，即k＝3，三角形的三边为2、2、1，综上所述，k的值为3．31．（1）解方程x2﹣x﹣6＝0；（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，求m的取值范围．【解答】解：（1）方程x2﹣x﹣6＝0，分解因式得：（x﹣3）（x+2）＝0，所以x﹣3＝0或x+2＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2；（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＝4﹣4m≥0，解得：m≤1．故m的取值范围为m≤1．32．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜2，即m的取值范围为m＜2；（2）m的最大整数为1，则方程为：x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，∴x1＝0，x2＝2．33．为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．（1）求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；（2）2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过115.2万元，并且采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，请求出所需经费最少的采购方案．【解答】解：（1）设每套A型健身器材年平均下降率为x，根据题意得：2.5（1﹣x）2＝1.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）．答：每套A型健身器材年平均下降率为20%；（2）2×（1﹣20%）2＝1.28（万元）．设购买B型健身器材m套，则购买A型健身器材（80﹣m）套，根据题意得：1.6（80﹣m）+1.28m≤115.2，解得：m≥40．∴B型健身器材最少可购买40套．34．为满足师生阅读需求，某校图书馆的藏书量不断增加，2019年年底的藏书量为5万册，2021年年底的藏书量为7.2万册．（1）求该校这两年藏书的年均增长率；（2）假设2022年该校藏书的年均增长率与前两年相同，请你预测到2022年年底该校的藏书量是多少？【解答】解：（1）设该校这两年藏书的年平均增长率为x，依题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），答：这两年藏书的年平均增长率为20%；（2）7.2×（1+20%）＝8.64（万册），答：预测到2022年年底该校的藏书量是8.64万册．35．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．①若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？②当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【解答】解：①根据题意得：若降价6元，则多售出12件，平均每天销售数量为：12+20＝32（件），答：平均每天销售数量为32件；②设每件商品降价x元，根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得：x1＝10，x2＝20，40﹣10＝30＞25，（符合题意），40﹣20＝20＜25，（舍去），答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利