名师课件：高中数学人教B版 必修 第二册 函数的运用（二）

人教B版必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数4.6函数的应用（二）因为生活中很多量与量的关系都可以归结为指数关系，因此指数函数、对数函数和幂函数有着广泛的应用，下面举例说明。

典型例题例1

有些银行存款是按复利的方式和计算利息的，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息，假设最开始本金为a元，每期的利率为r，存x期后本息何为f(x)元.（1）写出f(x)的解析式；（2）至少要经过多少期后，本息和才能不小于本金的2倍？

解：（1）不难看出，f(1)=a+ar=a（1+r），f(2)=a（1+r）+a（1+r）r=a(1+r)²f(3)=a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)³......因此f(x)=a(1+r)x,x∈N*.（2）由f(x)≥2a,可解得

x≥设不小于的最小整数为,则至少要经过期后,本息和才能不小于本金的2倍.由例1的(2)可以得到银行业中经常使用“70原则”：因为ln2≈0.69315，而且当r比较小时，ln（1+r）≈r，所以即利率为r时，本息和大约要期才能“倍增”（即为原来的2倍）。例如，当年利率为5%时，约要经过14年，本息和才能“倍增”典型例题例2按照《国务院关于印发十三五”节能减排综合工作方案的通知》（国发[2016]74号）的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要此2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第t（t=0，1，2，3，4，5）年的二氧化硫排放总量最大值为f（t）万吨.（1）求f（t）的解析式：（2）求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内（精确到1万吨）.解：（1）设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为r，因为f(0)表示2015年的排放总量，所以由题意可知f（t）=f(0)又因为f（5）=1580，f（5）=f(0)(1-15%)，所以f（0）=，1-r=，从而

f（t）=，t=0，1，2，3，4，5.（2）由（1）可知f（4）×≈1632因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在1632万吨以内.典型例题例3已知某地区第一年的经济增长率为a（a∈[0,1]且a为常数），第二年的经济增长率为x（x≥0），这两年的平均经济增长率为y，写出y与x的关系，并求y的最小值.解：根据题意有(1+a)(1+x)=(1+y)2,从而有y=

显然，上述函数是增函数，因此x=0时，y有最小值.例4人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音.一般地，如果强调为x的声音对应的等级为f（x）dB，则有

f（x）=10lg（1）求等级为0dB的声音的强度；（2）计算出90dB的声音和60dB的声音强度之比.

解：（1）由f（x）=0，即10lg=0可得x=1×.因此等级为0dB的声音强度为1×.（2）设f（）=90，则10lg=90解得=设f（）=60，同理可得=因此所求强度之比为＝＝1000

值得注意的是，由例4的（2）可以看出，90dB的声音强度是60dB的声音强度的1000倍.实际上，60dB是一般说话的声音等级，而很嘈杂的马路的声音等级为90dB.为了保护听力，人所处的环境，声音一般不宜长时间超过90dB.习题1．某市的房价(均价)经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是()A．600元 B．50%C. D.1、解析：选C.设6年间平均增长率为x，则有1200(1＋x)6＝4800，解得x＝

习题2．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概．当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒后的高度x米可由x＝at－5t2确定．已知射出2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为________米．2、解析：由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60.所以x＝60t－5t2.由x＝－5t2＋60t＝－5(t－6)2＋180，知当t＝6时，x取得最大值为180，即弓箭能达到的最大高度为180米．答案：180

习题3．某游乐场每天的盈利额y元与销售的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题：(1)求y与x的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？3、解析：(1)由图像知，可设y＝kx＋b，x∈[0，200]时，过点(0，－1000)和(200，1000)，解得k＝10，b＝－1000，从而y＝10x－1000；x∈(200，300]时，过点(200，500)和(300，2000)，解得k＝15，b＝－2500，从而y＝15x－2500，所以y＝1