工程流体力学

工程流体力学

主讲:冯

进长江大学机械工程学院

§5理想流体动力学

假设存在一种流体，其粘度为零，该流体称为理想流体。客观上是不存在这种流体的，但当流体的粘度非常小且对运动过程的影响可以不考虑时，可以把它当理想流体处理。§5.1理想流体运动方程

在第三章，介绍欧拉法描述流体运动时，我们知道其加速度为：其中：因此，理想流体的运动方程写为：例：巳知流体流动的速度为：质量力仅有重力，求流体质点在（2，3，1）位置上的压力梯度。采用ρ=1000kg/m3,g＝9.8m/s2。例2：已知不可压缩流体水平面上作有势流流动，在X方向上的速度分量为ux=yt-x，且在x＝y＝o处，ux=uy=0，p＝p0。试求t＝o时流场的压力分布。一、伯努里方程

当理想流体的压强仅与密度有关时，我们称它为理想正压流体。理想正压流体在有势质量力的作用下，其运动方程在定常及无旋两种特殊情况下可以积分出来。理想流体运动方程：

§5.2理想流体的伯努里方程

当理想流体为不可压缩均质流体时，则：

当质量力仅为重力时，则：

运动方程具有以下形式：当流体为理想、均质不可压、质量力仅为重力且运动为定常时，上式变为：

将等式两端点乘流线上任意点的切线方向的单位矢量，得：

沿流线积分得：

C为积分常数，沿同一流线取相同值，不同流线取不同的值，这就是伯努里方程。伯努里方程写成：当流体为理想、均质不可压、质量力仅为重力、定常且无旋时，运动方程写成：

积分得：

C为积分常数，在整个流场中取同一值。

二、伯努里方程的物理意义

上式表明单位质量流体的总能量（动能、势能和压能的总和）在同一流线上守恒，如图示。

例1：常用皮托管测量流速，皮托管测速原理如图示，如果被测流体为不可压缩流体。根据伯努里方程有：式中，z1=z2，且在第2点处u2=0。根据静压平衡原理，有，故：三、总流伯努里方程

在同一过流断面上各点的速度不一定相同。因此，上式适合于流束而不适合总流，总流是由无限个流束组成的，对每个流束进行积分即可得出实际流体总流能量方程式。设微小流束的流量为dQ，单位时间内通过微小流束任何过流断面的流体重量为ρgdQ，将适合于流束的伯努里方程各项乘以ρgdQ，在总流的两个过流断面积分，即：

上式分两项积分分别讨论：

1.第一项积分：只有在所取断面上流动为均匀流或渐变流时，过流断面上z+p/ρg为常数，积分才有可能。所以

2.第二项积分：它为单位时间通过过流断面A的流体动能的总和。由于流速u分布复杂，无法积分。一般采用动能修正系数α，建立平均流速V的总动能与实际分布速度u的总动能相等，即：

式中：其值取决于过流断面流速分布，对理想流体α＝1。因此,总流的伯努里方程:例1：液体自下而上流动，如图示。液体的密度为ρ，测压计的流体密度为，试求管中液体流量。

例2：一水槽在同一侧面有两个大小相同的孔口，上面的孔口离水面2m，下面孔口离水面4m，试求两孔射流为定常运动时，在哪一点相交。§5.3理想流体的拉格朗日积分一、拉格朗日积分

当流体为理想、均质不可压、质量力仅为重力且无旋时，运动方程变为：

式中为势函数。积分上式得：

C(t)为积分常数，仅与时间有关，同一时刻取同一常数值，这就是拉格朗日积分。当流体为理想、均质不可压、质量力仅为重力、无旋且定常时，拉格朗日积分改写成：二、拉格朗日积分应用

旁管出流的不定常过程如图示。旁管为等直径的水平管，水箱很大，近似认为出流不影响液面高度，水平管内的流动近似认为一维流动。根据连续性方程，有：

根据无旋流动，有：

当X=L时，势函数在B点处对时间的偏导数为：在同一时刻，A、B两点的关系：

积分得：当t=0时，u=0，C=1。因此：当时，例2：已知不可压缩流体作平面势流流动，在X方向上的速度分量为ux=yt-x

，且在x＝y＝o处，ux=uy=0，p＝p0。试求t＝o时流场的压力分布。

解：流体为不可压缩流体，根据质量守恒方程，有：根据势流流动条件，有：

由于x＝y＝o处ux=uy=0条件，得C1(t)=0，所以。求势数：

所以:由拉格朗日积分得：

当x＝y＝o处，ux=uy=0，p＝p0。故：当t＝o时，有：

§5.4动量守恒方程及其应用一、动量守恒方程根据动量守恒原理，动量对时间的变化率等于在流体质点受到的作用力。因此，对控制体系统内任一质点的受到的作用力求和可表示为：

其中：

因此，动量定理可以写成下列表达式：

上式就是动量守恒方程。动量守恒方程在直角坐标系下，有：二、动量守恒方程的应用当动量守恒方程应用于流管时，动量守恒方程右边第一项的存在阻碍了应用动量方程的积分。因为要求右边第一项的积分，必须知道V内的各点的详细流动状况。这就是为什么在不定常运动时通常不应用动量方程的原因。当定常时，上式变为：

对于流管（如图示），除流管两端面dQ不为零外，其余为零。流管外的流体对流管的作用力：

常用过流截面上平均速度υ代替u，这时：

在三个坐标上的分量为：

对不可压缩均质流体，Q2=Q1=Q，ρ2=ρ1=ρ。则：

例1：在水平平面上的450弯管（如图示），入口直径为d1=600mm，出口直径为d2=300mm，入口表压强p1=1.4bar，出口表压强p2=0，流量Q=0.425m3/s，不考虑摩擦，试求液体对弯管的作用力。

解：首先求液体受到的作用力。设管壁对液体的作用力为F，则：

根据作用力与反作用力关系，可求出液体对管壁的作用力。

例2：水从水头为h1大容器通过小孔流出(大容器的水位可以认为是不变的)，射流冲击在一块大平板上，它盖住了第二个大容器的小孔，该容器水平面到小孔的距离为h2

，设两个小孔的面积都一样。若h2给定，求射流作用在平板上的力刚好与板后的力平衡时h1为多少？

例3：水平面上自由射流与平板相遇，如图所示。已知射流速度V1=20m/s，总流量Q1=24L/s及Q2=8L/s，ρ=1000kg/m3，不计水的粘性，并假定流动定常，在足够远处V2和V3均匀。求①Q3、V2、V3和α；②平板上所受到的力。

例4：如图所示，水从3m宽的矩形水渠阀门流下，流量为13m3／s，闸门前后的水位分别为2m和lm。试求作用在闸门上的力，并指出在闸门上的压力分布是否符合静压分布规律。§5.5动量矩定理及其应用一、动量矩方程动量对某一参照点的矩称为动量矩。因此，对控制体系统内任一点的动量对某一参照点的矩求和可表示为：

同动量方程的原因一样，动量矩方程只用于定常流动，这时上式变为：

对于流管（如图示），除两过流截面有流体流入和流出外，无流体穿过流管表面。故流管内的动量矩可表示为：

常用平均速度υ代替u，这时：当为不可压缩流体时，Q2=Q1=Q，ρ2=ρ1=ρ。则二、动量矩方程的应用

例1：离心泵叶轮如图示，研究其进出口的动量矩。解：进出口的过流断面为园弧面，其法向线为径向。

1）．作进出口速度三角形

进出口子午面流速：，

。其中，。圆周速度：，

2）求绝对速度C1和C2

3）根据动量矩方程，有：对于不可压缩流体，ρ1=ρ2=ρ，Q1=Q2=Q。故：

理论输出功率：理论压头：

例2：喷水器如图所示，每个喷咀的流量为0.01m3/s，若不计摩擦阻力，求旋臂的转动速率。解：喷口相对旋臂的速度：两出口流体对旋转中心的力矩分别为M1和M2，根据动