数学建模基础

第1讲数学建模基础西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研室徐昌贵2011年8月31日一、什么是数学建模二、数学建模竞赛三、数学建模实例四、思考题五、学习数学建模的建议内容提要

一、什么是数学建模玩具、照片…~实物模型风洞中的飞机…~物理模型地图、电路图…~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。我们常见的模型什么是数学模型你碰到过的数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小时20公里航行问题建立数学模型的基本步骤

作出简化假设（船速、水速为常数）；

用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；

求解得到数学解答（x=20,y=5）；

回答原问题（船速每小时20公里）。数学模型

(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模：建立数学模型的全过程（包括建立、求解、分析、检验）。机理分析数据分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型二者结合机理分析建立模型结构,数据分析确定模型参数数学建模的基本方法数学建模的重要意义电子计算机的出现及飞速发展.数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.数学建模越来越受到人们的重视.数学建模和与之相伴的计算正成为工程设计中的关键工具数学软件：Matlab7.0数学软件：Mathematica5.0二、数学建模竞赛为了弥补传统教学的不足，提高学生学习数学的积极性，向学生展示各种应用领域中的数学问题和数学建模方法，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，创造一个有利于加强学生将来从事科研工作的能力和进一步发展的环境，从20世纪80年代起，数学建模课程和数学建模竞赛在世界各国的高校蓬勃地开展起来了。美国于1985年举办了第一届大学生数学建模竞赛。这种思路新颖、富有挑战性的竞赛立即得到了各方面的大力支持和积极响应，到2000年参加美国数学建模竞赛的国家已达9个共495队。全国高校规模最大的学生课外科技活动竞赛宗旨：创新意识

团队精神

重在参与

公平竞争主办机构教育部高等教育司

中国工业与应用数学学会(CSIAM)

在我国，由教育部高教司与中国工业应用数学学会共同组织的全国大学生数学建模竞赛活动已历时十八年（1993年~2010年）。

数学建模竞赛与以往考察知识和技巧的数学竞赛不同，它是一个完全开发式的竞赛。数学建模竞赛的题目没有固定的范围和模式，往往是由实际问题稍加修改和简化而成，题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造性。学生以小组的形式参加竞赛，每组3人，共同讨论，分工合作，竞赛持续3天3夜，过程中可以查阅任何图书资料和使用现有的数学软件和计算机工具，最后完成一篇论文式的答卷。数学建模竞赛可以培养学生从实际问题的原型中抓住其数学本质的能力、可以培养学生用数学语言抽象和简化实际问题，建立实际问题的数学模型的能力、可以培养学生将所学知识应用到解决实际问题的综合应用分析能力、可以培养学生学会在实际工作中非常有用的使用各种现有数学软件和计算机资源的能力。近三年全国大学生数学建模竞赛试题2003年峨眉校区参加全国大学生数学建模竞赛获奖名单序号获奖项目获奖学生姓名及专业1全国一等奖王增详（00土木）、曾辉（00电子）、晏东（01计本）2全国二等奖周维江（01机械）、王汉湘（01测控）、胡步毛（01土木）3全国二等奖何朝海（02运专）、周汉秀（02旅管）、杨仁娟（02土专）4省一等奖陈导（01计本）、杨印（00土木）、黄熊（01通信）5省一等奖周媛（01通信）、贺鸿博（01电子）、张元勋（02计本）6省二等奖王媛（02旅管）、李蒙赫（02制药）、刘庆（02电商）7省二等奖金娟（01通信）、黄琦（01通信）、钱程（01电化）8省三等奖梁海清（01机械）、曲晶（01机械）、曾逸（00通信）2004年峨眉校区参加全国大学生数学建模竞赛获奖名单序号获奖项目获奖学生姓名及专业1全国一等奖李蒙赫（02制药）、黄二梅（03制药）、张洁（02旅管）2全国二等奖尹泽生（01电子）、夏志铭（01电子）、杨川（03计本）3全国二等奖陈峰（03旅游）、韩琨明（02制药）、贺颖（02网络）4省一等奖李四光（03森保）、何朝海（02交运）、王媛（02旅管）5省一等奖潘妍（02电子）、胡步毛（01土木）、王冬（01土木）6省一等奖王汉湘（01测控）、周维江（01机械）、倪芳（02电子）7省三等奖陈兴魏（02土木）、范翊（02土木）、黄立文（03计本）序号获奖项目获奖学生姓名及专业1全国一等奖李蒙赫（02药学）、韩琨明（02药学）、王子兰（04交运）2全国二等奖陈峰（03旅游）、李四光（03森保）、刘萍（03旅管）3全国二等奖黄梅（03旅管）、李忠（04交运）、白海军（04交运）4省二等奖向活跃（04工检）、王磊（04铁道）、钱瑶（04造价）5省二等奖韩金刚（03铁车）、杨璨（03工机）、范翊（02土木）6省二等奖黄方圆（03汽车）、马晓昕（03茅班）、涂友军（03汽车）7省三等奖曾侧伦（03铁车）、赖柏林（04电子）、陈强（04电子）8省三等奖陈兴魏（02土木）、曹野（03通信）、李朝东（03茅班）9省三等奖熊恒武（03电化）、李跃旭（03机电）、黄立文（03计本）2005年峨眉校区参加全国大学生数学建模竞赛获奖名单2006年峨眉校区参加全国大学生数学建模竞赛获奖名单序号获奖项目获奖学生姓名及专业1全国一等奖刘培刚(04电车)、陈惠粉(04茅班)、田壮(04工检)2全国一等奖王子兰(04交运)、赵军(04铁运)、贺仲金(05制药)3全国二等奖张波(04数控)、陈龙(04数控)、文晓东(04通信)4全国二等奖李志(05中药)、胡红梅(05外运)、郭付祥(04森保)5省一等奖熊恒武(03电化)、李跃旭(03机电)、叶红兵(03计本)6省一等奖黄梅(03旅管)、李忠(04交运)、白海军(04交运)7省二等奖韩金刚(03铁车)、杨璨(03工机)、黄立文(03计本)8省二等奖马鹏(04工机)、米蓉(04数控)、姚建军(04通信)9省二等奖牟必磊(04通信)、李全(04通信)、田林(05数控)10省二等奖陈峰(03旅游)、李四光(03森保)、刘萍(03旅管)11省三等奖曹野(03通信)、李朝东(03茅班)、杨华(03测控)2007年峨眉校区参加全国大学生数学建模竞赛获奖名单序号获奖项目获奖学生姓名及专业指导教师1甲组全国一等奖马鹏（04工机）、米蓉（04数控）、姚建军（04通信）徐昌贵2甲组全国一等奖王子兰（04交运）、赵军（04铁运）、史彦锋（06茅班）张兴元3甲组全国二等奖王胜（05数控）、任建丹（05茅班）、赵彦龙（06茅班）张兴元4甲组全国二等奖白海军（04交运）、李忠（04交运）、周毅（05建材）熊学5甲组省一等奖郭付祥（04森保）、贺仲金（05制药）、门宇彬（06汽车）徐昌贵6甲组省二等奖刘培刚（04电车）、田壮（04工检）、陈强（04电子）符伟7甲组省三等奖田林（05数控）、许志（05外运）、杜树碧（05茅班）田俐萍序号获奖项目获奖学生姓名及专业指导教师1甲组全国一等奖李健（05建材）、周攀（06通信）、杨天翔（07计本）符伟2甲组全国二等奖马利（06通信）、青亮（06通信）、谯卫平（06通信）张兴元3甲组全国二等奖门宇彬（06汽车）、刘均（06汽车）、吴双（06电化）张兴元4甲组省一等奖任建丹（05茅班）、赵彦龙（06茅班）、陈景琪（07电测）万美凯5甲组省一等奖冯跃（06电化）、杨佳（06电子）、杨杰仁（06铁工）符伟6甲组省一等奖蔡娟（06信号）、王坚强（06信号）、吴元辉（06通信）张兴元7甲组省二等奖刘旭东（05铁车）、宋海贤（06茅班）、陈健康（06茅班）张跃8甲组省三等奖李雯（07信号）、李貌（07计本）、杨攀（07机械）熊学2008年峨眉校区参加全国大学生数学建模竞赛获奖名单2009年峨眉校区参加全国大学生数学建模竞赛获奖名单序号获奖项目获奖学生姓名及专业指导教师1甲组全国一等奖王楠(08电车)，夏炎(08电车)，闫小伟(08电车)张兴元2甲组全国二等奖青亮(06通信)，马利(06通信)，陈健康(06茅班)张兴元3甲组全国二等奖饶家权(07电子)，艾毅(07铁运)，吴承骏(07电化)张跃4甲组省一等奖陈景琪(07电测)，杨天翔(07计算)，胥凤(07铁运)符伟5甲组省一等奖周大海(07工机)，何永刚(07工机)，黄立群(08会计)万美凯6甲组省一等奖范瑞娟(07电化)，蒋雪峰(07电化)，杨阳(07铁车)徐昌贵7甲组省一等奖李海(06茅班)，封雪(06茅班)，任红(07通信)万美凯8甲组省二等奖郭书基(07机械)，沈灿林(07工机)，邱敏(07信号)张跃9甲组省三等奖谢明李(07电车)，张嵩(07电车)，陈灼(07铁运)徐昌贵一次参赛，终身受益！三、数学建模实例椅子能在不平的地面上放稳吗？如何预报人口的增长?椅子能在不平的地面上放稳吗？问题椅子能在不平的地面上放稳吗？1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形；2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面；3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。模型假设ABCDtA‘B‘C‘D‘Ox模型构成椅脚连线为正方形ABCD(如右图)。t~椅子绕中心点O旋转角度f(t)~A,C两脚与地面距离之和g(t)~B,D两脚与地面距离之和

f(t),g(t)

0模型构成由假设1，f和g都是连续函数由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)>0,原题归结为证明如下的数学命题：已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t,f(t)•g(t)=0,且g(0)=0,f(0)>0。则存在t0，使f(t0)=g(t0)=0模型求解OxA‘B‘C‘D‘ABCDt最后，因为f(t)•g(t)=0，所以f(t0)=g(t0)=0。令h(t)=f(t)-g(t),则h(0)>0和h(

)<0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0

（0<t0<

),使h(t0

)=0，即f(t0)=g(t0)。将椅子旋转90º,对角线AC与BD互换。由g(0)=0,f(0)>0可知g(

)>0,f()=0背景年

1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年

1908193319531964198219901995人口(亿)34.76710.111.312研究人口变化规律控制人口过快增长如何预报人口的增长?指数增长模型常用的计算公式马尔萨斯（1788--1834）提出的指数增长模型(1798)x(t)~时刻t人口r~人口(相对)增长率(常数)今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代

可用于短期人口增长预测

不符合19世纪后多数地区人口增长规律

不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假定：r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r