极坐标与参数方程讲义

极坐标与参数方程一、极坐标知识点1.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O,叫做极点，自极点。引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 ，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点。与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角 xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标，记作M(,).一般地，不作特殊说明时，我们认为 0,可取任意实数.特别地，当点M在极点时,它的极坐标为(0, )( €R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,0 2，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的..极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(，)( 0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x,y)极坐标(，)

互化公式在一般t#况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.常见圆与直线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆圆心为（r,0）,半径为r的圆圆心为（r,一）,半2径为r的圆过极点，倾斜角为的直线(1)(R)或 (R)(2) ( 0)和 (0)过点（a,0）,与极轴垂直的直线过点（a,—），与极2轴平行的直线注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即（,）,（,2 ）,（, ）,（,，都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M（一,一）可以表44 5小为（一,一2）或（一,一2）或（——,—）等多种形式，其中，只有（一,一）的极坐44 44 44 44标满足方程二、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点P(2,—),Q(2,―)之间的距离以及过它们的直线的4 4极坐标方程。解：两点的直角坐标为p(72,V2),Q(J2V2)，它们之间的距离|pq2/2.由于直线PQ垂直于极轴，且距离极点<2,所以直线的极坐标方程为cos.,2练习、已知曲线Ci,C2的极坐标方程分别为 cos3,4cos>0,00 —,求曲线Ci与C2父点的极坐标.2八………cos3 — 2M『一解：我们通过联立解方程组 (0,0 -)解得 ，即两曲4cos 2 —6线的交点为(2#,-)o61.2.已知圆C:(x1)2(y厨1,则圆心c的极坐标为( 0,0 2)2答案：((2,^))3练习已知点c极坐标为(2,—)，求出以C为圆心，半彳全r=2的圆的极坐标方程(写3出解题过程)；考点2、极坐标与直角坐标方程互化例题2、已知曲线C的极坐标方程是 4sin.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是'2x—t2广(t为参数)，点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求y4乌2|PQ|的最小值.解：曲线C的极坐标方程4sin可化为24sin其直角坐标方程为x2y24y0,即x2(y2)24.（3分）

直线l的方程为直线l的方程为xy40.所以圆心到直线l的距离d66分)所以，|PQ的最小值为3衣2. (10分)练习、设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点。(1)求圆C的极坐标方程；(2)求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线.解：圆的极坐标方程为 4分设点的极坐标为，点的极坐标为，二•点为线段的中点，；，……7分将，代入圆的极坐标方程，得点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆.……10分练习(20151理数)(23)(本小题满分10分)选彳4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中.直线:x=—2,圆：(x—1)2+(y—2)2=1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求，的极坐标方程；(II)若直线的极坐标方程为，设与的交点为， ，求^CMN的面积(23)解：(I)因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。 ……5分(II)将代入，得，解得，。故，即。由于的半径为1,所以的面积为。 ……10分二、参数方程.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数xf')①，并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点yg(t)M(x,y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程..参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如xf(t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t),那么xf⑴就是曲线的参数方程yg(t)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。.圆的参数如图所示，设圆。的半径为r,点M从初始位置Mo出发，按逆时针方向在xrcos圆O上作匀速圆周运动，设M(x,y),则cos(为参数)。yrsin这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM0转过的角度。圆心为(a,b),半径为r的圆的普通方程是(xa)2(yb)2r2,xarcos它的参数方程为： (为参数)。ybrsin.椭圆的参数方程以坐标原点。为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2x2a2x2av2 xyr1(ab 0),其参数方程为b yacos(为参数)，其中参数bsin称为离心角；焦点在y角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是2 2鼻勺1(ab 0),其参数方程为abbcos(为参数)，其中参数asinbcos(为参数)，其中参数asin仍为离心角，通常规定参数的范围为€[0,注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相它和这一点的旋转角等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但a时，相应地也有0万，在其他象限内类似。.双曲线的参数方程（了解）以坐标原点。为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为2x2a22x2a2y2 1（ab0,bx0）,其参数方程为yasec（为参数），其中btan[0,2）且焦点在y焦点在y轴上的双曲线的标准方程是2 2与与1（a0,b0）,其参数方程为abbcot（为参数，其中（0,2）eMacsc以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。.抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y22px（p0）的参数方程为2pt2（t为参数）.2pt.直线的参数方程经过点M°（x。,y。），倾斜角为（ -）的直线l的普通方程是Yq tan（xx°），而过M°（x0,y°）,倾斜角为的直线l的参数方程为x。tcos（t为参数）。y0tsin注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M0（x0,y。），倾斜角为的直线i的参数方程为线i的参数方程为xx0tcosyy°tsin（t为参数），其中t表示直线l上以定点M。为起uLuurn点，任一点M（x,y）为终点的有向线段M0M的数量，当点M在M0上方时，t>0;当点M在M。下方时，t<0;当点M与M。重合时，t=0。我们也可以把参

数t理解为以M0为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。考点3、参数方程与直角坐标方程互化例题3:已知曲线的参数方程为(为参数)，曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由.解：(1)由得•••曲线的普通方程为「•，即•••曲线的直角坐标方程为 (5分)(2)二.圆的圆心为,圆的圆心为;两圆相交设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段「•一.一・公共弦长为 (10分)练习(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C: x2cos(为参数，00<2冗)，y12sin(I)将曲线化为普通方程；(n)求出该曲线在以直角坐标系原点为极点， x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程.TOC\o"1-5"\h\z(I)x2y22j3x2y0 …5分二t..2(t为参数)。二t二t..2(t为参数)。二t2xCC0 …… X练习已知曲线G：xcos（为参数），曲线G:ysin练习已知曲线y(1)指出G,G各是什么曲线，并说明G与G公共点的个数;(2)若把G,G上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线CJ,C2'c写出G',C2’的参数方程。C1'与C2'公共点的个数和G与G公共点的个数是否相同说明你的理由。练习(2014II)(23)(本小题满分10分)选彳4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为.(1)求得参数方程；(2)设点在上，在处的切线与直线垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定的坐标.(23)解： (I)C的普通方程为.可得C的参数方程为(t为参数，)(H)设D.由(I)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆。

因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同,.故D的直角坐标为，即。练习(20131)(23)(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线G的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为。(I)把G的参数方程化为极坐标方程；(H)求G与C2交点的极坐标(p>0,0<9<2tt)。【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题 .【解析】将消去参数，化为普通方程，即：，将代入得，・••的极坐标方程为；(n)的普通方程为，由解得或，，与的交点的极坐标分别为()，.练习(2015II)23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线(为参数，)，其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.(I).求与交点的直角坐标；(H).若与相交于点，与相交于点，求的最大值.【答案】(I)和；(II).解：(I)曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.联立解得或所以与交点的直角坐标为和.(n)曲线的极坐标方程为，其中.因此得到极坐标为，的极坐标为.所以，当时，取得最大值，最大值为.考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值.考点4:利用参数方程求求值域x1cos例题4、在曲线C1: (为参数)上求一点，使它到直线C2:ysinx2,2x2,22。为参数)的距离最小，并求出该点坐标和最小距离TOC\o"1-5"\h\z解：直线C2化成普通方程是x+y-2V2-1=0 2分设所求的点为P(1+cos,sin), 3分则C到直线C2的距离d=|L_cos—组―2<211 5分、.2二|sin( +-)+2| 7 分当—3-时，即=5-时，d取最小值1 9分4 2’ 4

此时，点P此时，点P的坐标是（1-*,-彳） 10分练习.在平面直角坐标系xOy中，动圆x2+y2-8xcos-6ysin+7cos2+8=0的圆心为P（x,y）,求2x-y的取值范围..x4cos【解】由题设得x4Cos（为参数）. 3分于是2xy8cos3sin 773cos( ), 6分所以炳w2xy<<73. 10分练习.(本小题满分10分)已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）.（I）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；（n）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.答案：（本小题满分10分）解：（1）曲线的极坐标方程可化为：又.所以，曲线的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得：令得即点的坐标为又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，则」•练习（20141理数）3.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；TOC\o"1-5"\h\z（n）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值 .【解析】：.（I）曲线c的参数方程为： （为参数），直线l的普通方程为： 5分（II）（2）在曲线C上任意取一点P（2cos,3sin）到l的距离为则，其中为锐角.且.当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 10分考点5:直线参数方程中的参数的几何意义考点易错点二：直线参数方程中