2021-2022学年福建省南平市松溪第三中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年福建省南平市松溪第三中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】异面直线的判定．【分析】利用一面直线的定义和正方体的性质，逐一分析各个选项中的2条直线的位置关系，把满足条件的选项找出来．【解答】解：A中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项A不满足条件．B中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项B也不满足条件．D中，由于PR平行且等于SQ，故四边形SRPQ为梯形，故PQ与RS是两条相交直线，它们和棱交与同一个点，故选项D不满足条件．C中的PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故选项C满足条件．故选C2.函数的大致图象如右图所示，则函数的图象可能是()参考答案：D3.下列有关命题的叙述错误的是(

)

（A）对于命题p：x∈R，，则为：x∈R，

（B）命题“若－3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则－3x+2≠0”

（C）若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

（D）“x>2”是“－3x+2>0”的充分不必要条件参考答案：C4.已知集合A={x|1＜x2＜4}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B=（）A．（1，2） B．[1，2） C．（﹣1，2） D．[﹣1，2）参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】解不等式化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|1＜x2＜4}={x|﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，则A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：A．5.已知是上的减函数，那么的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.已知数列是以为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.(2009山东卷理)设x，y满足约束条件

，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为(

).A.

B.

C.

D.4参考答案：A解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而=,故选A.8.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是(

)A．2 B． C．2 D．2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形即可求出该三棱锥中最长棱是多少．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体为底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，如图所示；且三棱锥的高为SD=2，底面三角形边长BC=2，高AD=2；∴该三棱锥的最长棱是SA===2．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．9.21个人按照以下规则表演节目：他们围坐一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数，那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（）A．19 B．38 C．51 D．57参考答案：D【考点】排列、组合的实际应用．【分析】首先求出每轮报数完毕后剩下的人数，以及报数的次数各是多少；然后把每轮报数的次数求和，求出仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数多少次即可【解答】解：根据题意，在第一轮报数中，有=7人表演节目，则第一轮报完数后剩下14人，一共报数21次；在第二轮报数中，14=3×4+2，有4人表演节目，则这一轮报完数后剩下10人，一共报数14次；在第三轮报数中，10=3×3+1，有3人表演节目，则这一轮报完数后剩下7人，一共报数10次；在第四轮报数中，7=3×2+1，有2人表演节目，则这一轮报完数后剩下5人，一共报数7次；在第五轮报数中，5=3×1+2，有1人表演节目，则这一轮报完数后剩下4人，一共报数5次；此时仅剩两个人没有表演过节目，一共报数：21+14+10+7+5=57次；故选：D．【点评】此题考查合情推理的运用，关键是求出每轮报数完毕后剩下的人数，以及报数的次数各是多少．10.已知满足不等式组,则目标函数的最大值为A.4

B.6

C.8

D.10参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线的圆心，则的最小值是________________参考答案：1612.方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．参考答案：213.函数的定义域为

。参考答案：略14.已知是两个单位向量，若向量，则向量与的夹角是________.参考答案：15.记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．参考答案：[，4]【考点】7C：简单线性规划．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件

的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件

的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．16.已知变量，满足，则的最大值为

．参考答案：1217.若函数的图像与直线交于点，且在点处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为

．参考答案：-1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数有极值，且曲线处的切线斜率为3。

（1）求函数的解析式；

（2）求在[－4，1]上的最大值和最小值。参考答案：解：（1）由题意，得所以，（2）由（1）知令x－4（－4，－2）－2（－2，）（，1）1

+0－0+

↗极大值↘极小值↗

函数值－11

13

4上的最大值为13，最小值为－11。略19.已知椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A1、B1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，则直线QM的方程为y=﹣3kx+m，由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件，能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，∴由题意得，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣，0），∵PM=MN，∴P（，2m），Q（），∴直线QM的方程为y=﹣3kx+m，设A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴x2+=，∴x2=﹣，∵点N平分线段A1B1，∴，∴﹣=﹣，∴k=，∴P（±2m，2m），∴，解得m=，∵|m|=＜b=，∴△＞0，符合题意，∴直线l的方程为y=．20.（本小题满分13分）设，函数，的最大值为1，最小值为，求a,b的值。参考答案：求导得：当x变化时，之间的变化如下表：x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1

+0－0+

↗极大值b↘极小值↗由上表可知：比较的大小，，所以最大值比较的大小，所以为最小值，，解得

所以，b=121.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线（a＞0），已知过点P（－2，－4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．⑴写出曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；⑵若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．参考答案：⑴⑵直线的参数方程为（t为参数）,代入得到,则有因为，所以解得略22.（本小题满分15分）设函数的定义域是，对于任意正实数恒有，且当时，。（1）求的值；（2）求证：在上是增函数；（3）求方程的根的个数。参考答案：解：（1）令，则，…………2分令