2022年度河南省商丘市永城乡重点中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年度河南省商丘市永城乡重点中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.求证,P=(x1－)2+(x2－)2+…+(xn－)2，q=（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…+（xn﹣a）2若a≠则一定有（）A．P＞q B．P＜qC．P、q的大小不定 D．以上都不对参考答案：B【考点】平均值不等式在函数极值中的应用．【分析】设f（x）=（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2，将此式化成二次函数的一般形式，结合二次函数的最值即可进行判定．【解答】解：设f（x）=（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2，则f（x）=nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+x12+x22+…+xn2当时，f（x）取得最小值，即P＜q．故选B．【点评】本题主要考查了二次函数在函数极值中的应用，解答的关键是利用函数思想结合二次函数的最值即可．2.已知集合M={x｜x＞x2｝，N={y｜y=M}，则M∩N=A、{x｜0＜x＜}B、{x｜＜x＜1}C、{x｜0＜x＜1}D、{x｜1＜x＜2}参考答案：B3.执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5 B．3 C．4 D．2参考答案：A【考点】循环结构．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环k的值，当k=5时，大于4，计算输出S的值为，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：k=2，k=3，k=4，k=5，大于4，可得S=sin=，输出S的值为．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结果的程序框图，模拟执行程序正确得到k的值是解题的关键，属于基础题．4.如图所示是求样本的平均数的程序框图，图中的空白框中应填入的内容为（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：A由于，所以，选A5.已知，，规定：当时,；当时,，则（

）A．有最小值,最大值1

B．有最大值1,无最小值C．有最小值,无最大值

D．有最大值,无最小值参考答案：C6.若实数满足约束条件，则的最大值为（

）A．-8

B．-6

C.-2

D．4参考答案：D本题考查简单线性规划.画出可行域,如图三角形ABC所示.当过点时,取得最大值.选D.7.在等差数列中，，则等于（

）

参考答案：A8.函数的最大值为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C,所以函数的最大值为，选C.9.设向量与的夹角为，=（2，1），3+=（5，4），则=

A.

B.

C.

D.参考答案：答案：D10.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），则f（31）=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2参考答案：C【考点】函数的值．【分析】由已知推导出f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），由此能求出f（31）．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣f（﹣x）=f（x），∵当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），∴f（31）=f（32﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣log22=﹣1．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为

．参考答案：3【考点】基本不等式；二次函数的性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先判断a、c是正数，且ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．【解答】解：∵二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），∴a＞0，△=16﹣4ac=0，∴ac=4，则c＞0，∴≥2=2=3，当且仅当，=时取到等号，∴的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查函数的值域及基本不等式的应用，求解的关键就是求出a与c的关系，属于基础题．12.设

则=__________参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】-

由题意f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=-sinx，

f3（x）=f2′（x）=-cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，

由此可知，在逐次求导的过程中，所得的函数呈周期性变化，从0开始计，周期是4，

∵2015=4×503+3，故f2015（x）=f3（x）=-cosx∴f2015（）=-cos=-故答案为：-。【思路点拨】由题意对函数的变化规律进行探究，发现呈周期性的变化，且其周期是4，即可得到结论．13.设满足约束条件：；则的取值范围为

.参考答案：略14.均为单位向量，且它们的夹角为60°，设满足，，则的最小值为______.参考答案：【分析】根据的几何意义判断在一个半径为的圆上，根据判断的终点在过的终点且平行于的直线上.根据圆和直线的位置关系，以及的几何意义，求得的最小值.【详解】由于，即，即与两个向量终点的距离为，即的终点在以的终点为圆心，半径为的圆上.由于，根据向量加法的平行四边形法则可知，的终点在过的终点且平行于的直线上.画出图像如下图所示.由于均为单位向量，且它们的夹角为，故圆心到直线的距离，表示两个向量终点的距离，所以最短距离也即的最小值为.【点睛】本小题主要考查平面向量减法模的几何意义，考查平面向量加法运算的平行四边形法则，考查考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.15.已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设F1,F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为

．参考答案：8由已知，，；又双曲线与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，，则双曲线；在右支上，根据双曲线的定义有

，，故的最小值为.

16.数列通项公式的前项和，则=

。参考答案：3019略17.已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，，，根据以上不等式的规律，请写出对正实数成立的条件不等式．参考答案：当时，有三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分13分)如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1，侧面BCC1B1底面ABC.

（I）若M、N分别为AB、A1C的中点，求证：MN//平面BCC1B1；

（II）若三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°.问在线段上是否存在一点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为，若存在，求BP的长度，若不存在，说明理由.参考答案：（I）思路点拨1：连接,证明：;------------------4分

思路点拨2：取BC中点,取中点,证明：是平行四边形

思路点拨3：取AC中点K，连接MK,NK，证明平面MKN//平面BCC1B1

（II）过作BC的垂线,垂足为O，侧面BCC1B1底面ABC

所以平面ABC，------------------------------------6分

所以就是侧棱BB1与底面ABC所成的角，即=60°--7分

又AB=AC，所以,

如图，以O为原点，BC所在直线为X轴，OA为y轴建立空间直角坐标系

则-------------8分

-------------9分

解1：，设平面的法向量为

则，令，则y=-1,x=-3,所以---11分

又平面ABC的法向量为（0,0,1），

设平面使得平面与底面ABC的所成角为

所以，又在上单调递减，

所以在上不存在点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为-----------------------13分解2：设P在上，所以…19.已知抛物线C：y=x2．过点M（1，2）的直线l交C于A，B两点．抛物线C在点A处的切线与在点B处的切线交于点P．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求|AB|；（Ⅱ）求△PAB面积的最小值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）直线l的方程为y=x+1，代入y=x2，消去y，求出方程的根，即可求|AB|；（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，代入y=x2，消去y整理得x2﹣kx+k﹣2=0，利用韦达定理，结合弦长公式求出|AB|，求出P的坐标，可求点P到直线l的距离，即可求△PAB面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，直线l的方程为y=x+1，代入y=x2，消去y，可得x2﹣x﹣1=0，解得，x1=，x2=．所以|AB|=|﹣|=．

…（6分）（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，设点A（x1，y1），B（x2，y2）．由y=k（x﹣1）+2代入y=x2，消去y整理得x2﹣kx+k﹣2=0，于是x1+x2=k，x1x2=k﹣2，又因为y′=（x2）′=2x，所以，抛物线y=x2在点A，B处的切线方程分别为：y=2x1x﹣x12，y=2x2x﹣x22．得两切线的交点P（，k﹣2）．所以点P到直线l的距离为d=．又因为|AB|=?|x1﹣x2|=?．设△PAB的面积为S，所以S=|AB|?d=≥2（当k=2时取到等号）．所以△PAB面积的最小值为2．

…（14分）【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．20.设椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。参考答案：略21.(本小题满分12分)已知平面向量a＝(cosφ，sinφ)，b＝(cosx，sinx)，