2022年江苏省南京市如东中学高三数学文联考试卷含解析

2022年江苏省南京市如东中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.2.已知函数，则下列说法错误的是（

）A.的最小正周期是π

B.关于对称C.在上单调递减D.的最小值为参考答案：D3.定义在（0，）上的函数f（x），其导函数是f′（x），且恒有f（x）＜f′（x）?tanx成立，则（）A．f（）＞f（） B．f（）f（） C．f（）＞f（） D．f（）＜f（）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则g（）＜g（），整理后即可得到答案．【解答】解：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx．即f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=，x∈（0，），则g′（x）=＞0．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则g（）＜g（），即＜，所以＜，即f（）＜f（）．故选D．4.某产品在某零售摊位上的零售价x(元)与每天的销售量y(个)统计如下表：x16171819y50344131据上表可得回归直线方程=b＋a中的b＝－4，据此模型预计零售价定为15元时，销售量为(

)A．48

B．49

C．50

D．51参考答案：B略5.已知集合，集合，则（

）A．(－∞,8)

B．(－∞,0]

C．(－∞,0)

D．参考答案：C6.已知函数为奇函数,且当时,，则（

）(A)

(B)

0

(C)1

(D)2参考答案：A7.给定性质：①最小正周期为；②图像关于直线对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是(

)A．

B．C．

D．参考答案：C8.已知函数f（x）=，若f[f（）]=3，则b=（）A．﹣1 B．0 C．2 D．3参考答案：C【考点】5B：分段函数的应用．【分析】利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数值，列出方程求解即可．【解答】解：函数f（x）=，f（）=log2=﹣1，f[f（）]=3，可得f（﹣1）=1+b=3，可得b=2．故选：C．9.已知函数的定义域是D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；

②；

③.则

，

.参考答案：略10.三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为(

)A．7 B．7.5 C．8 D．9参考答案：C【考点】球内接多面体．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由小圆面积为16π，可以得小圆的半径；由图知三棱锥高的最大值应过球心，故可以作出解答．【解答】解：设小圆半径为r，则πr2=16π，∴r=4．显然，当三棱锥的高过球心O时，取得最大值；由OO1==3，∴高PO1=PO+OO1=5+3=8．故选C．【点评】本题考查了由圆的面积求半径，以及勾股定理的应用，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为

．参考答案：解析：对于在区间的频率/组距的数值为，而总数为100，因此频数为3012.角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα=﹣；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ=﹣2．对于下列结论：①P（﹣，﹣）；②|PQ|2=；③cos∠POQ=﹣；④△POQ的面积为．其中所有正确结论的序号有．参考答案：①②④【考点】三角函数线．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式得到OP所对应的角，结合平方关系求解的正余弦值得答案，判断命题①；求出Q的坐标，由两点间的距离公式计算|PQ|2，然后判断真假；把两角差的余弦用诱导公式化为正弦，展开后计算得答案，再判断真假；直接由面积公式求值，然后判断真假．【解答】解：如图，对于①，由tanα=﹣，得，∴．又，且，解得：．设P（x，y），∴x=，．∴P（）．命题①正确；对于②，由tanβ=﹣2，得，又sin2β+cos2β=1，且，解得：．∴Q（）．∴|PQ|2==．命题②正确；对于③，cos∠POQ=cos（）=﹣sin（α﹣β）=﹣sinαcosβ+cosαsinβ==．命题③错误；对于④，由③得：sin∠POQ=，∴．命题④正确．∴正确的命题是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数线，训练了三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式的用法，是中档题．13.如果长方体的顶点都在半径为3的球的球面上，那么该长方体表面积的最大值等于_____________；参考答案：72设长方体同一顶点的三条棱的长分别为a,b,c，因为长方体外接球的直径为长方体的体对角线，所以，又长方体的表面积为，当且仅当a=b=c时取等号。14.设满足的点的集合为A，满足的点的集合为B，则所表示图形的面积是

．参考答案：答案:

15.已知实数x，y满足不等式组，则z=|x|+y的取值范围为

．参考答案：[﹣1，]

【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，z=|x|+y=，当M（x，y）位于D中y轴的右侧包括y轴时，平移直线：x+y=0，可得x+y∈[﹣1，2]，当M（x，y）位于D中y轴左侧，平移直线﹣x+y=0，可得z=﹣x+y∈（﹣1，]．所以z=|x|+y的取值范围为：[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．16.已知向量，，向量，用，表示向量，则=

▲

．参考答案： 17.在随机数模拟试验中，若（

）,（

）,共做了次试验，其中有次满足，则椭圆的面积可估计为

．（）表示生成0到1之间的随机数参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数（）在其定义域内有两个不同的极值点.(Ⅰ)求的取值范围；(Ⅱ)记两个极值点分别为，，且.已知,若不等式恒成立,求的范围.参考答案：见解析考点：导数的综合运用解：(Ⅰ)函数的定义域为，

所以方程在有两个不同根．

即，方程在有两个不同根．…1分

转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点，

可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须．

令切点，所以，又，所以，

解得，，于是，所以．

（Ⅱ）因为等价于．

由（Ⅰ）可知分别是方程的两个根，即，

所以原式等价于，

因为，，所以原式等价于．

又由，作差得，，即．

所以原式等价于，

因为，原式恒成立，即恒成立．令，，

则不等式在上恒成立．

令，又，

当时，可见时，，所以在上单调增，又，

在恒成立，符合题意．

当时，可见时，，时，

所以在时单调增，在时单调减，又，

所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．

综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以．19.（本小题满分12分）已知命题；.若是的充分非必要条件，试求实数的取值范围．参考答案：解：由，得．………………2分：．……………4分由，得．：B={}．………………6分

∵是的充分非必要条件，且，B……………8分

即

………12分20.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且，垂直．（I）确定角B的大小；（II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围．参考答案：解：（I）∵⊥，∴（2a+c）cosB+bcosC=0，在△ABC中，由正弦定理得：，∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入得k[（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC]=0，∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0．∵A，B∈（0，π），∴sinA≠0，∴，解得B=．（II）∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，，，，∴xy=x+y，∴．在△ABC中，由余弦定理得：=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy=（x+y）2﹣（x+y）=．∵，x＞0，y＞0，∴x+y≥4，∴，∴．∴AC的取值范围是：．略21.）在亚丁湾执行护航任务的某导弹护卫舰，突然收到一艘商船的求救信号，紧急前往相关海域。到达相关海域O处之后发现，在南偏西、5海里外的海面M处有一条海盗船，它以每小时20海里的速度向南偏东的方向逃窜。某导弹护卫舰立即施放载有突击队员的快艇进行拦截，快艇以每小时30海里的速度向南偏东的方向全速追击。请问快艇能否追上海盗船？如能追上，请求出的值；如未能追上，请说明理由。（假设海上风平浪静，海盗船逃窜的航向不变、快艇运转正常无故障等）参考答案：略22.已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），﹣＜θ＜．（Ⅰ）若，求θ；（Ⅱ）求|的最大值．参考答案：【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关