上海市金山区教师进修学院附属中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

上海市金山区教师进修学院附属中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(

)A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α参考答案：B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n?α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n?α或n⊥α，故D错．故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．2.已知a、b、c、p为空间的任意向量，O、A、B、C为空间的任意点，有下列命题①a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb②向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb③若向量{a、b、c}是空间的一个基底，则{a＋b，a－b，c}也可构成空间的另一个基底④若OA、OB、OC不构成空间的一个基底，则O、A、B、C一定共面其中真命题的个数是（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B略3.若，则等于（

）

A．

B．

C．

D．以上都不是参考答案：A4.在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形参考答案：A考点：三角形的形状判断；对数的运算性质．

专题：计算题；解三角形．分析：由对数的运算性质可得sinA=2cosBsinC，利用三角形的内角和A=π﹣（B+C）及诱导公式及和差角公式可得B，C的关系，从而可判断三角形的形状解答：解：由lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2可得lg=lg2∴sinA=2cosBsinC即sin（B+C）=2sinCcosB展开可得，sinBcosC+sinCcosB=2sinCcosB∴sinBcosC﹣sinCcosB=0∴sin（B﹣C）=0．∴B=C．△ABC为等腰三角形．选：A．点评：本题主要考查了对数的运算性质及三角函数的诱导公式、和差角公式的综合应用，属于中档试题5.全集U=R集合M＝{x｜－2≤x≤3}，P＝{x｜－1≤x≤4}，则等于A、{x｜－4≤x≤－2}B、{x｜－1≤x≤3}C、{x｜3≤x≤4}D、{x｜3＜x≤4}参考答案：D6.已知i是虚数单位，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】.故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.7.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值(

) A．2个 B．1个 C．3个 D．4个参考答案：B考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值．解答： 解：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值，∵在点B的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，且f′（xB）=0．∴函数f（x）在点B处取得极小值．故选：B．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于基础题．8.有以下四个命题：(1)垂直于同一平面的两直线平行．(2)若直线a、b为异面直线，则过空间中的任意一点P一定能作一条直线与直线a和直线b均相交．(3)如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线都平行．(4)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与这个平面内的任何直线都垂直．其中真命题有________个A．1B．2

C．3

D．4参考答案：B略9.下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】综合题．【分析】根据四种命题的定义，我们可以判断A的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断B的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断C的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断D的真假，进而得到答案．【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A为真命题；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真命题；若p∧q为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题；故选C．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题间的逆否关系，充要条件，是对简单逻辑综合的考查，属于简单题型．10.设集合,，则 （

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在椭圆中F，A，B分别为其左焦点，右顶点，上顶点，O为坐标原点，M为线段OB的中点，若DFMA为直角三角形，则该椭圆的离心率为

参考答案：略12.直线到直线的距离是

▲

参考答案：413.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则

。参考答案：14.在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．参考答案：3

原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“若m2>n2，则m>－n”，也是假命题，从而否命题也是假命题．15.已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7，8}，从A、B中分别各取一个数，则其积为偶数的概率为．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求了其积为偶数包含的基本事件个数，由此能求出其积为偶数的概率．【解答】解：集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7，8}，从A、B中分别各取一个数，基本事件总数n=4×4=16，其积为偶数包含的基本事件个数m==12，∴其积为偶数的概率p=．故答案为：．16.在平面直角坐标系中，“直线，与曲线相切”的充要条件是

▲．参考答案：17.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则∠A的值为，△ABC面积的最大值为．参考答案：,.【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出角A的大小；由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积bc?sinA【解答】解：由已知可得等式：（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，利用正弦定理化简得：（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，则A=；在△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bc?sinA=×=，故答案为：，．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，．（1）当时，求的最值；（2）求实数a的取值范围，使在区间[－4,6]上是单调函数．参考答案：（1）f(x)的最大值是35.f(x)的最小值是f(2)＝－1（2）a≤－6或a≥4…试题分析：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个”二次，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点值符合四个方面分析；（3）二次函数的综合问题应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想,试题解析：解（1）当时，，对称轴为（2）要使函数在区间上是单调函数，则对称轴，，解之得，考点：一元二次函数在闭区间上的最值；（2）一元二次函数的单调性．19.在平面直角坐标系中，的三个顶点，点在线段上（异于端点）．设均为非零实数，直线分别交于点．一同学已正确算出直线的方程：．请你写出直线的方程：（

）．参考答案：略20.已知直线是椭圆的右准线，若椭圆的离心率为，右准线方程为x=2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知一直线AB过右焦点F（c，0），交椭圆Γ于A，B两点，P为椭圆Γ的左顶点，PA，PB与右准线交于点M（xM，yM），N（xN，yN），问yM?yN是否为定值，若是，求出该定值，否则说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：e==，=2，即可求得a和b的值，求得椭圆Γ的方程；（2）设AB的方程：x=my+1，代入椭圆方程由韦达定理求得直线PA的方程，代入即可求得yM=（2+），yN=（2+），yM?yN==，代入即可求得yM?yN=﹣1．【解答】解：（1）依题意：椭圆的离心率e==，=2，则a=，b=1，c=1，故椭圆Γ方程为；

…（2）设AB的方程：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，△=（﹣2m）2+4（m2+2）＞0，由韦达定理得：y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，…直线PA：y=（x+），令x=2，得yM=（2+），同理：yN=（2+），…∴yM?yN==，=，=，=，===﹣1，yM?yN=﹣1，yM?yN是定值，定值为﹣1．…21.（14分）已知函数．（1）若在上的最大值为，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；参考答案：（1）由，得，……（2分）令，得或．

……（3分）列表如下：0

00极小值极大值……（5分）由，，∴，即函数在上的最大值为，

……（6分）∴．

……（7分）（2）由，得．，，且等号不能同时取，∴，，∴恒成立，即．

……（8分）令，，求导得，，