2023年湖南省株洲市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年湖南省株洲市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.微分方程(y)2=x的阶数为()A.1B.2C.3D.4

2.

3.刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用四个力，此四个边恰好组成封闭的力多边形。则()

A.力系平衡

B.力系有合力

C.力系的合力偶矩等于平行四边形ABCD的面积

D.力系的合力偶矩等于负的平行四边形ABCD的面积的2倍

4.

5.下列关系式中正确的有()。A.

B.

C.

D.

6.

7.

8.A.-3-xln3

B.-3-x/ln3

C.3-x/ln3

D.3-xln3

9.

10.

11.

12.

13.A.2/5B.0C.-2/5D.1/2

14.

15.

16.如图所示两楔形块A、B自重不计，二者接触面光滑，受大小相等、方向相反且沿同一直线的两个力的作用，则()。

A.A平衡，B不平衡B.A不平衡，B平衡C.A、B均不平衡D.A、B均平衡

17.

18.设y=2x3，则dy=()．

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

19.A.－cosxB.－ycosxC.cosxD.ycosx20.设y=3+sinx，则y=()A.-cosxB.cosxC.1-cosxD.1+cosx二、填空题(20题)21.

22.曲线y=x3－3x2－x的拐点坐标为____。

23.

24.

25.

26.

20．

27.28.级数的收敛区间为______．29.∫(x2-1)dx=________。

30.

31.

32.

33.

34.设y＝3＋cosx，则y＝．35.

36.

37.

38.

39.40.设z=ln(x2+y)，则dz=______．三、计算题(20题)41.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．42.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．43.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．44.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

45.

46.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．47.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

48.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

49.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

50.证明：51.52.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．53.54.

55.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

56.57.求微分方程的通解．58.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

59.

60.

四、解答题(10题)61.

62.63.设y=y(x)由方程X2+2y3+2xy+3y-x=1确定，求y'．64.65.计算66.求67.68.求fe-2xdx。69.70.五、高等数学(0题)71.y一y(x)由x2y—ex+ey=0确定，求y(0)。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A

2.D

3.D

4.B

5.B本题考查的知识点为定积分的性质．

由于x，x2都为连续函数，因此与都存在。又由于0＜x＜1时，x＞x2，因此

可知应选B。

6.A解析：

7.C

8.A由复合函数链式法则可知，因此选A．

9.A解析：

10.D

11.D

12.C

13.A本题考查了定积分的性质的知识点

14.A

15.A

16.C

17.B

18.B由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy=y′dx求得故选B．

19.C本题考查的知识点为二阶偏导数。由于z＝ysinx，因此可知应选C。

20.B

21.22.（1，-1）

23.2

24.1-m

25.

26.

27.2本题考查的知识点为二阶导数的运算．

f'(x)=(x2)'=2x，

f"(x)=(2x)'=2．28.(-1，1)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

所给级数为不缺项情形．

可知收敛半径，因此收敛区间为

(-1，1)．

注：《纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．

本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．

29.

30.e2

31.

32.1/2

33.-2-2解析：34.－sinX．

本题考查的知识点为导数运算．

35.

36.(-∞2)(-∞,2)解析：

37.

38.39.本题考查的知识点为：求解可分离变量的微分方程．

40.本题考查的知识点为求二元函数的全微分．

通常求二元函数的全微分的思路为：

先求出如果两个偏导数为连续函数，则可得知

由题设z=ln(x2+y)，令u=x2+y，可得

当X2+y≠0时，为连续函数，因此有

41.

42.

43.由二重积分物理意义知

44.由等价无穷小量的定义可知

45.

46.

列表：

说明

47.函数的定义域为

注意

48.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

49.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

50.

51.

52.

53.

54.

则

55.

56.

57.58.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

59.

60.由一阶线性微分方程通解公式有

61.

62.63.解法1将所给方程两端关于x求导，可得2x+6y2·y'+2(y+xy')+3y'-1=0，整理可得

解法2令F(x，y)=x2+2y3+2xy+3y-x-1，则本题考查的知识点为隐函数求导法．

y=y(x)由方程F(x，Y)=0确定，求y'通常有两种方法：

一是将F(x，y)=0两端关于x求导，认定y为中间变量，得到含有y'的方程，从中解出y'．

二是利用隐函数求导公式其中F'x，F'y分别为F(x，y)=0中F(x，y)对第一个位置变元的偏导数与对第二个位置变元的偏导数．

对于一些特殊情形，可以从F(x，y)=0中较易地解出y=y(x)时，也可以先求出y=y(x)，再直接求导．

64.