北京市城六区2019届高三期末数学(文)解答题分类汇编之导数Word版含答案

【海淀】20.(本小题满分13分)2已知函数f(x)工二，其中a0.e(I)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(_l,f(_l))处的切线方程;(n)求证：当x0时，f(x).2a—X20.解：(I)因为f(x)—e所以f'(x)所以f'(x)_2x-aex当a=3时，f'(x)=x_2x_3所以f'(一1)=0，而f(_1)=2e曲线y=f(x)在(_1,f(_1))处的切线方程为y=2e(n)法一：因为f'(x)=x-2x—a，令f'(x)=0ex得人=1-1a,x2=11a显然当a0时，X1：：：0,X2-2所以x,f'(x),f(x)在区间(0,；)上的变化情况如下表X(0,X2)X2(X2，亦)f'(x)—0+f(x)]极小值Z所以f(x)在区间(0,x2)上单调递减，在(x2,=)单调递增,所以所以f(x)在(0,；)上的最小值为f(X所以f(x)在(0,；)上的最小值为f(X2)，所以只需证明因为冷-2x2-a=0,所以f(血)a一刈2-2x2x2x2-2x设F(x)J，其中x2e所以尸仞-空二-叱1e

当x2时，F'(x).0,所以F(x)在区间(2,二)单调递增,因为X22，所以f(X2)卡区).F(1)二一2，问题得证e22因为a0，所以当x0时，f(x)二空X二X-ee2设F(x)二，其中x0所以F'(x)=x所以F'(x)=x2-2xx(x-2)一xe所以x，F'(x)，F(x)的变化情况如下表x(0,2)2(2,代)F'(x)—0+F(x)]极小值Z所以F(x)在区间(0,2)上单调递减，在(2；)上单调递增,4422e—4所以函数F(x)在x=2时取得最小值F(2)2，而-—-()—0eeee2所以x0时F(x)•-—e2所以f(x)F(x)，问题得证e法三：因为“对任意的x0，即“x0，2ee(ax+1

e22a-x2a-x2x”等价于“对任意的x0，x0”eeeex2)0”，故只需证“x0时，2exe(^x2)0”设g(x)=2exe(a-x2)，其中x_0所以g'(x)=2ex-2ex设h(x)二g'(x)，h'(x)=2ex「2e,令h'(x)=0，得x=1所以x，h'(x)，h(x)的变化情况如下表x(0,1)1(1H)h'(x)—0+h(x)]极小值Z所以h(x)在x=1处取得极小值，而h(1)=2e-2e=0所以h(x)_0所以x0时，g'(x)_0,所以g(x)在(0,；)上单调递增，得g(x)g(0)而g(0)=2.0，所以g(x)0问题得证【西城】20.(本小题满分13分)已知函数f(x)=lnx-x，a，其中aR.(I)如果曲线y=f(x)与x轴相切，求a的值；(n)若a=ln2e，证明：f(x)wx;f(x)(川)如果函数g(x)2在区间(1,e)上不是单调函数，求a的取值范围.x20.(本小题满分13分)TOC\o"1-5"\h\z解：(I)求导，得f(x)=丄-1=1,1xx分因为曲线y=f(X)与x轴相切，所以此切线的斜率为0,2分由f(x)=0，解得x=1,又由曲线y二f(X)与x轴相切，得f(1)--1•a=0,解得a=13分(n)由题意，f(x)=lnx-xJn2e,令函数F(x)=f(x)-x=1nx-2xln2e,4分1-2x求导，得F(x)2二xx1由F(x)=0，解得X二一,2当x变化时，F(x)与F(x)的变化情况如下表所示：

x(0£)12(”)F\x)+0—F(x)/极大值11所以函数F(x)在(0,-)上单调递增，在(㊁，代)上单调递减，6分故当X时，F(x)max二F(£)=ln*-1ln2e=0,所以任给x(0,：：),F(x)二f(x)-xw0，即f(x)<x.7分(川)由题意，得g(x)=単」nx-2xaxx求导，得g(x)=求导，得g(x)=x-2lnx1-2a3x因为x•(1,e)，所以g(x)与h(x)=x-21nx•1-2a的正负号相同x—2对h(x)求导，得h(x)=1-一二xx由h(x)=0，解得x=2•当x变化时，h(x)与h(x)的变化情况如下表所示:x(1,2)2(2,e)h(x)—0+h(x)极小值/所以h(x)在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增又因为h(1)=2-2a，h(e)=e-1-2a,TOC\o"1-5"\h\z所以h(x)min=h(2)=3-21n2-2a；h(x)max=h(1)=2-2a.10分如果函数g(x^f(|xi在区间(1,e)上单调递增，则当(1,e)时，g(x)>0.x所以h(x)>0在区间(1,e)上恒成立，即h(x)min=h(2)=3-21n2-2a》0,3解得a<2-ln2，且当a^-ln2时，g(x)=0的解有有限个，3即当函数g(x)在区间(1,e)上单调递增时，a<ln2;①11分2如果函数g(x)=f([)在区间(1,e)上单调递减，则当x(1,e)时，g(x)<0,x所以h(x)w0在区间(1,e)上恒成立，即h(x)max=h(1)=2-2aw0,解得a>1，且当a=1时，g(x)=0的解有有限个，所以当函数所以当函数g（x）在区间（1,e）上单调递减时，a>1.（2）12分因为函数g（x^f（Xl在区间（1,e）上不是单调函数，x结合①②，可得--ln2:：:a:::1,2所以实数a的取值范围是-_|n2：：•a：：113分2【东城】（19）（本小题13分）1已知函数f(x)=axex-x2-x,a€R.2（i）当a=1时，求曲线y二f（x）在点（0,f（0））处的切线方程;(n)求f(x)的单调区间.(19)(共13分)解：(I)f(x)的定义域为R,f(x)=aex(x+1)-x-1=(x+1)(aex-1)...7分当a=1时，f'(0)=0,f(0)=0..7分所以曲线y二f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=0.(n)f(x)=aex(x+1)-x-1=(x+1)(aex-1).(1)当a£0时，aex-1<0,所以当x>-1时，f(x)<0；当x<-1时，f(x)>0.所以f(x)的单调递增区间为(-爭-1)，单调递减区间为(T,+R).⑵当a>0时，令f(x)=0，得人=-1,X2=-Ina.①当-Ina=-1，即a=e时，f'(x)30,所以f（x）的单调递增区间为（-爭+R）,无单调递减区间;②当-Ina<-1，即a>e时,当-Ina<x<-1时，f(x)<0；当x<-Ina或x>-1时，f(x)>0.Ina),(-1,+?)；所以f(x)的单调递减区间为(-Ina,-Ina),(-1,+?)；③当-Ina>-1，即0<a<e时，当-1<x<-Ina时，f'(x)<0；当x<-1或x>-Ina时，f'(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为(-1,-Ina)，单调递增区间为(-?,1),(-Ina,+?).13分【朝阳】20.(本小题满分13分)已知函数f(x)=xex-m(x1)2(m_0).2(i)当m=0时，求函数f(x)的极小值；(n)当m・0时，讨论f(x)的单调性；(川)若函数f(x)在区间-：：，1上有且只有一个零点，求m的取值范围.20.(本小题满分13分)解：(1)当m=0时：f(x)=(x，1)ex，令f(x)=0解得x=-1,又因为当x^■,-1,f(x)::0,函数f(x)为减函数；当,f(x)0，函数f(x)为增函数.TOC\o"1-5"\h\z所以，f(x)的极小值为f(T)=-丄.3分e(n)f(x)=(x1)(ex-m).当m0时，由f(x)=0，得x=T或x=Inm.11(i)若m，则f(x^(x1)(ex)-0.故f(x)在-：：，=上单调递增；ee1(ii)若m，则Inm-1.故当f(x)•0时，x”一1或xInm；e当f(x)：：0时，一1：：xInm.所以f(x)在_：:,-1,Inm,单调递增，在-1,1nm单调递减•1(iii)若0■m，则Inm-1.故当f(x)0时，x::Inm或x—1；e当f(x)：：0时，Inm.x-1.所以f(x)在-：：,lnm,-1,亠「j单调递增，在Inm,-1单调递减.8分(川)(1)当m=0时，f(x)二xex，令f(x)=O，得x=0.因为当x：：：0时，f(x)：：：0,当x0时，f(x).0,所以此时f(x)在区间-:：，1上有且只有一个零点.(2)当m•0时：TOC\o"1-5"\h\z11当m时，由(n)可知f(x)在-：：，•：：上单调递增，且f(-1)0,ee2f(1)=e0，此时f(x)在区间-:：，1上有且只有一个零点.e1当m•—时，由(n)的单调性结合f(-1)：：：0，又f(Inm)：：：f(-1)：：：0,e只需讨论f(1)=e-2m的符号：1e当m时，f(1)-0,f(x)在区间-二,上有且只有一个零点；e2e当m时，f(1)乞0，函数f(x)在区间：［一匚押上无零点.1(i)当0：：：mJ时，由(n)的单调性结合f(-1)：：：0,f(1)=e-2m0,ef(Inm)=-mIn2m-m：：：0，此时f(x)在区间：,1上有且只有一个零点22综上所述，0乞m：：：^.13分2【丰台】20.(本小题13分)已知函数f(x)=x-sinx.(I)求曲线y=f(x)在点(一，f「))处的切线方程;22

（n）求证：当x.（o,）时，o：：•f（x）：」x3.2620.（共13分）解：（I）因为f（x）=1-cosx.所以f才2贝Ug(x)=1-cosxx,,2贝Ug(x)=1-cosxx,所以曲线y=f（x）在点（二f（匸））处的切线方程y一匸^（x--）.22J22整理得：x_y_1=05分22J22整理得：x_y_1=05分因为f(x)」cosx,x(0Q),所以f(x)•0.所以函数fx在（0,-）上单调递增,所以f(x)f(0)=0,即x-sinx0.①再证f(x):x3.6设g(x)=fx-1x3,所以h（x）在所以h（x）在（0，-）上单调递减,h(x)：：h(0)=0.g(x)：：g(x)：：g(0)=0.13分所以x・（0,；）时，g（x）：：：0.所以g（x）在（0,—）上单调递减,2_13即fx叮一X.②6综合①②可知：当.（0，-）时,【石景山】20.(本小题13分)已知函数f(x)=(x-a)lnx.(I)当a=0时，求f(x)在x=1处的切线方程；(H)当a0时，若f(x)有极小值，求实数a的取值范围.20.(本小题13分)解：(I)当a=0时，f(x)=xlnx,f(x)=1nx1.f⑴=1,f(1)=0,所以f(x)在X=1处的切线方程为y=X-1.(n)f(x)有极小值二函数f(x)有左负右正的变号零点"1af(x)=Inx亠ixaInx1xx令g(x)二f(x)，贝yg(x)一弓xxx令g(x)=0,解得X=a.x,g(x),g(x)的变化情况如下表：x(0,a)a(a,^)g(x)—0+g(x)减极小值Ina+2增若Ina2>0,即a>e』