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第三章导数及应用第4课时定积分与微积分基本定理1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．请注意本节为新增内容，高考中多以选择填空题形式考查，主要借助微积分基本定理求定积分或解决几何或物理知识．其定义体现求定积分的四个步骤：①

；②

；③

；④

．分割近似代替取和取极限3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么

，这个结论叫做微积分基本定理．4．定积分的几何和物理应用(1)①如图所示，由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0)及直线x＝a，x＝b(a<b)围成图形的面积为：②如图所示，在区间[a，b]上，若f(x)≤0，则曲边梯形的面积为：(2)作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝

.(3)如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功W＝

.答案(1)√

(2)×

(3)√

(4)√答案B答案C答案－2答案3例1计算以下定积分：题型一求定积分探究1

(1)计算一些简单的定积分，解题的步骤是：①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；②把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分；③分别用求导公式找到一个相应的原函数；④利用微积分基本定理求出各个定积分的值；⑤计算原始定积分的值．(2)对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分的几何意义求解．

求下列积分：思考题1例2求由曲线y＝x2和直线y＝x和y＝2x围成的图形的面积．题型二求平面图形的面积探究2

(1)求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤为：①画草图；②求曲线的交点定出积分上、下限；③确定被积函数，但要保证求出的面积是非负的；④写出定积分并计算，用微积分基本定理公式计算时，要认真、细致，按步骤来做，不要急于求成，以保证答案的准确性．(2)被积函数较复杂或积分区间不易确定有时可通过转换积分变量进行简化计算． (1)(2014·山东理)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(

)思考题2【答案】

D【答案】

A例3

(1)A，B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站．电车行驶ts后到达途中C点，这一段速度为1.2tm/s，到C点的速度达24m/s，从C点到B点站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：①A，C间的距离；②B，D间的距离．题型三定积分的物理应用【答案】①240m②240m(2)设力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，求力F(x)对质点M所作的功．【答案】

342J思考题3【答案】

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