四川省雅安市石棉县高级职业中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析

四川省雅安市石棉县高级职业中学2022-2023学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为（

）

A、11

B、10

C、9

D、8

参考答案：B略2.已知集合集合B={y|y=1﹣x2}，则集合{x|x∈A∪B且x?A∩B}为（）A．∪（2，+∞） B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪∪（1，2）参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】先求出集合A和集合B，由此能求出集合{x|x∈A∪B且x?A∩B}．【解答】解：∵集合={x|﹣2＜x＜2}，集合B={y|y=1﹣x2}={y|y≤1}，∴集合{x|x∈A∪B且x?A∩B}=（﹣∞，﹣2]∪（1，2）．故选：D．3.已知不等式对一切正整数n恒成立，则实数a的取值范围为（

）A．(0,3) B．(1,3) C．(2,4) D．(－∞,3)参考答案：B4.已知向量、为单位向量，且在的方向上的投影为，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由，变形可得，再利用平面向量数量积公式，结合向量夹角的范围可得结果.【详解】设向量与的夹角为，因为向量、为单位向量，且在的方向上的投影为，则有，变形可得：，即，又由，则，故选A．【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.7.阅读如下程序框图，如果输出，那么在空白矩形框中应填入的语句为A.

B.C.

D.参考答案：C6.已知实数满足，则的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.命题“，”的否定是（

）.

A.不存在，

B.存在，

C.存在，

D.对任意的，参考答案：C8.设集合,则A∩B=（

）A.(－∞,0]∪[3,+∞) B.[－1,0]∪[3,+∞) C.[－1,0] D.[3,+∞)参考答案：B【分析】先解出集合中的不等式，得出集合，然后计算即可。【详解】解不等式，得或，所以，集合，集合，因此，，故选：B。【点睛】本题考查一元二次不等式的解法以及集合的交集运算，在求解有关无限集合之间的基本运算时，可充分利用数轴来求解，考查计算能力，属于基础题。9.“=1”是“函数在区间上为增函数”的（

）A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C10.过点作直线与双曲线交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线

（

）A．存在一条，且方程为

B．存在无数条

C．存在两条，方程为

D．不存在参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若，且a4与a7的等差中项为，则S5为．参考答案：31【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a4与a7的等差中项为，∴a4+a7=2×，∴=，∵，∴=，联立解得：q=，a1=16．∴S5==31．故答案为：31．12.已知，则函数的零点的个数为

_______个.参考答案：5略13.已知函数，点O为坐标原点，点，向量是向量与i的夹角，则的值为__________.参考答案：14.已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值．【解答】解：由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8∴|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|=b2，∴5=8﹣b2，解得．故答案为．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径的长最短，是中档题．15.一个幼儿园的母亲节联谊会上，有5个小孩分别给妈妈画了一幅画作为礼物，放在了5个相同的信封里，可是忘了做标记，现在妈妈们随机任取一个信封，则恰好有两个妈妈拿到了自己孩子的画的概率为

．参考答案：16.设抛物线的焦点F，准线为，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果,则直线AF的斜率为

.参考答案：略17.给出下列四个命题：①函数f（x）＝lnx－2＋x在区间（1,e）上存在零点；②若，则函数y＝f（x）在x＝x0处取得极值；③若m≥－1，则函数的值域为R；④已知是方程的根，是方程的根，则.其中正确的序号是

.参考答案：①③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为．（Ⅰ）求圆的圆心到直线的距离；（Ⅱ）设圆与直线交于点．若点的坐标为（3，），求．参考答案：解：（Ⅰ）由，可得，即圆的方程为．

由可得直线的方程为．

所以，圆的圆心到直线的距离为．

…………5分（Ⅱ）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即．

由于△．故可设是上述方程的两个实根，

所以，又直线过点，故由上式及的几何意义得．

……10分19.记max{m，n}表示m，n中的最大值．如max{3，}=．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，ax2+x}．（1）求函数f（x）在[，2]上的值域；（2）试探讨是否存在实数a，使得g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【分析】（1）设F（x）=x2﹣1﹣lnx，对其求导，及最小值，从而得到f（x）的解析式，进一步求值域即可．（2）分别对a≤0和a＞0两种情况进行讨论，得到g（x）的解析式，进一步构造h（x），通过求导得到最值，得到满足条件的a的范围．【解答】解：（1）由题意设F（x）=x2﹣1﹣2lnx，则F'（x）=2x﹣=，所以x＞1时，F（x）递增，0＜x＜1时F（x）递减，所以F（x）min=F（1）=0，所以F（x）≥0即x2﹣1＞2lnx，所以f（x）=x2﹣1，其在[，2]上的最大值为x=2时函数值3，x=取最小值为，所以函数f（x）在[，2]上的值域[﹣，3]；（2）①当a≤0时，因为x∈（1，+∞），所以x+lnx﹣（ax2+x）=lnx﹣ax2＞0，所以x+lnx＞ax2+x，所以g（x）=x+lnx，当g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，则lnx﹣x＜4a对x∈（1，+∞）恒成立，设h（x）=lnx﹣x，则h'（x）=，令h'（x）＞0得1＜x＜2，h（x）递增，令h'（x）＜0得x＞2，h（x）递减，所以h（x）max=h（2）=ln2﹣1，所以a＞，又a≤0，所以a∈（，0]．②当a＞0时，由①知x+lnx＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，若g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，则ax2+x＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立，即2ax2﹣x﹣8a＜0对x∈（1，+∞）恒成立，显然不成立，即a＞0时，不满足g（x）＜x+4a对x∈（1，+∞）恒成立；综上，存在实数a使得g（x）＜x+4a，对x∈（1，+∞）恒成立，a的取值范围是（，0]．20.已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosφ，sinφ）（1）若|θ﹣φ|=，求|﹣|的值；（2）若θ+φ=，记f（θ）=?﹣λ|+|，θ∈[0，]．当1≤λ≤2时，求f（θ）的最小值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案，（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f（θ）=2cos2（θ﹣）﹣2λcos（θ﹣）﹣1，令t=cos（θ﹣），根据二次函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵向量=（cosθ，sinθ），=（cosφ，sinφ），∴﹣=（cosθ﹣cosφ）+（sinθ﹣sinφ），∴|﹣|2=（cosθ﹣cosφ）2+（sinθ﹣sinφ）2=2﹣2cos（θ﹣φ）=2﹣2cos=2﹣1=1，∴|﹣|=1；（2）?=cosθcosφ+sinθsinφ=cos（θ﹣φ）=cos（2θ﹣），∴|+|==2|cos（θ﹣）|=2cos（θ﹣），∴f（θ）=?﹣λ|+|=cos（2θ﹣）﹣2λcos（θ﹣）=2cos2（θ﹣）﹣2λcos（θ﹣）﹣1令t=cos（θ﹣），则t∈[，1]，∴f（t）=2t2﹣2λt﹣1=2（t﹣）2﹣﹣1，又1≤λ≤2，≤≤1∴t=时，f（t）有最小值﹣﹣1，∴f（θ）的最小值为﹣﹣1．21.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）根据互化公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）设出Q点坐标，Q，再根据点到直线的距离公式求出最小值．【解答】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．【点评】本题考查了极坐标方程和直角坐标系中一般方程的转化，考查了转化与化归思想，题目难度不大；另外第二问中对椭圆的参数方程也有考查，然后将问题转化成三角函数问题，即化成同一个角的三角函数并求出其最小值．22.已知圆O：x2+y2=4与x轴交于A，B两点，点M为圆O上异于A，B的任意一点，圆O在点M处的切线与圆O在点A，B处的切线分别交于C，D，直线AD和BC交于点P，设P点的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与y轴正半轴交点为H，则曲线E是否存在直角顶点为H的内接等腰直角三角形Rt△GHK，若存在，求出所有满足条件的Rt△GHK的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）求得M的切线方程，求得C和D点坐标，联立求得P点坐标，即可求得曲线E的方程；（2）设直线GH和KH方程，联立分别求得丨GH丨，丨HK丨，由丨GH丨=丨HK丨，分类讨论，即可求得k的值，求得两条直角边所在直线方程．【解答】解：（1）设M（x0，y0），则M处的切线为x0x+y0y=4，则，，则P：，则E：=1（y≠0），曲线E的方程=1（y≠0）；（Ⅱ）由于直线GH不与坐标轴平行或垂直，可设lGH：y=kx+1，则lKH：y=﹣x+1，联立，整理