山东省临沂市第五中学中学高三数学文下学期期末试题含解析

山东省临沂市第五中学中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，集合，若，那么由的值所组成的集合的子集的个数为（）A．1B．2C．3D．4参考答案：答案：D解析：由已知，有与两种情况：若，那么方程无解，此时；若，则有，故，即，所以的值所组成的集合为，有2个元素，故子集的个数为个。

2.下列命题：①若是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，，则②在中，是的充要条件.③若为非零向量，且，则.④要得到函数的图像，只需将函数的图像向右平移个单位.其中真命题的个数有（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A3.若复数满足,则复数的模为【

】.A.

B.

C.

D.参考答案：B因为，所以设，则，所以，所以，所以复数的模为。4.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3?a9=2a52，a2=1，则a1=(

)A． B． C． D．2参考答案：B【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3?a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2?a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列{an}的公比为正数，所以q=，故a1=．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．5.已知函数满足：，则；当时，则(

)A．

B． C． D．参考答案：略6.设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上不同的两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则△OAB面积的最小值为(

)A．p2 B．2p2 C．4p2 D．6p2参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设直线的方程为斜截式（有斜率时），代入抛物线，利用OA⊥OB找到k，b的关系，然后利用弦长公式将面积最后表示成k的函数，然后求其最值即可．最后求出没斜率时的直线进行比较得最终结果．【解答】解：当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+b．由消去y得k2x2+（2kb﹣2p）x+b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得△=（2kb﹣2p）2﹣4k2b2＞0，即kb＜．，所以=．所以由OA⊥OB得所以b=﹣2pk，①代入直线方程得y=kx﹣2pk=k（x﹣2p），所以直线l过定点（2p，0）．再设直线l方程为x=my+2p，代入y2=2px得y2﹣2pmy﹣4p2=0，所以y1+y2=2pm，y1y2=﹣4p2，所以==，所以S=，所以当m=0时，S的最小值为4p2．故选C【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系中的弦长问题中的最值问题，一般先结合韦达定理将要求最值的量表示出来，然后利用函数思想或基本不等式求最值即可．7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=(

) A．18 B．36 C．54 D．72参考答案：D考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，代入求和公式可得．解答： 解：由题意可得a4+a5=18，由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，∴S8===72故选：D点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．8.若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是

（

）

A． B． C．D．（－2，2）参考答案：答案：D9.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的参数方程是(为参数)，圆的极坐标方程是,则直线被圆截得的弦长为（A）

（B）2（C）

（D）2参考答案：D10.已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．?x∈R，f（﹣x）≠f（x） B．?x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．?x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0） D．?x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）参考答案：C【考点】全称命题；特称命题．【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：?x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴?x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；∴?x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真命题，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性的定义，全称命题的否定，难度中档．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量不共线，且两两之间的夹角都相等,若，则与的夹角是

．参考答案：12.若函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则6的展开式中各项系数和为

（用数字作答）．参考答案：考点：二项式系数的性质；定积分．专题：计算题．分析：求解定积分得到a的值，把a的值代入二项式后，取x=1即可得到6的展开式中各项系数和．解答： 解：函数f（x）=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，如图，∴a=+==．∴6=，取x=1，得．故答案为：．点评：本题考查了定积分，考查了二项式系数的性质，体现了数学转化思想方法，属中档题．13.如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是

.

参考答案：略14.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，若，则直线的斜率

.参考答案：15.有下列命题：①函数y＝4cos2x，不是周期函数；②若点P分有向线段的比为，且，则的值为或4；③函数y＝4cos（2x＋θ）的图象关于点对称的一个必要不充分条件是；④函数y＝的最小值为2－4其中正确命题的序号是________．参考答案：①③16.曲线y＝2sinx(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________．参考答案：略17.如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知A、B、D三点不在一条直线上，且A（－2，0），B（2，0），

（1）求点E的轨迹方程；

（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆C于M、N两点，线段MN的中点到y轴距离为且直线MN与点E的轨迹相切，求椭圆C的方程。参考答案：解析：（1）法一：设E∵∴又∴即为点E的轨迹方程。……5分（法二：可证）（2）设椭圆方程为：…………6分由于直线l与圆E相切，∴∴即直线l的方程为：……8分将代入，则有∴由题意有……11分又…………13分19.数列满足，且，其中（1）求证：≤1；（2）求证：．参考答案：（1）猜想：≤1，1≤k<N－1，k∈N*，接下来用数学归纳法对k进行证明：当k=1时，由，

得==1

但

∴=－1，∴成立

--------------------------------------------2分假设k=m

(1≤m<N－1，m∈)时，

则=∈[0，1]所以

所以k=m+1时结论也成立.综上，有，1≤k<N－1，k∈

故有

----------------5分（2）当N=2时，由且

得成立假设N=m(m≥2)时，存在，使得

------------------7分则当N=m＋1时，由归纳假设，存在k，使得，则===

所以=或=所以无论N取任何大于1的正整数，都存在k使得--1020.经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)，的关系近似地满足u＝除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？参考答案：略21.已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1，且f（x）的周期为2．（Ⅰ）当时，求f（x）的最值；（Ⅱ）若，求的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2ωx+），由T=2，利用周期公式可求ω，由，可得范围，利用正弦函数的图象和性质可得解f（x）的最值；（Ⅱ）由题意可得，解得，利用诱导公式可求cos（）的值，利用二倍角的余弦函数公式即可得解的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵=，…∵T=2，∴，…∴，…∵，∴，∴，…∴，…当时，f（x）有最小值，当时，f（x）有最大值2．…（Ⅱ）由，所以，所以，…而，…所以，…即．…22.（本题满分12分）某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6<x<11)，年销售为u万件，若已知－u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．参考答案：＝－2x2＋21x＋18.∴y＝(－2x2＋21x＋18)