2024年圆锥曲线复习题及答案解析

2024年高考圆锥曲线复习题%2y2.如图，椭圆后+W=1（。＞力＞。）的左焦点为尸，过点尸的直线交椭圆于A,4两点，依网的最大值为M,归/1的最小值是〃b满足M771=%q2.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段A8的中点为G,A4的垂直平分线与x轴交于。点，求怨的值.【分析】⑴设尸（・c,0）（c＞0）,根据椭圆的性质，得M=“+c,〃?=qc,代入M・m=1a2,化简即可得出答案.（2）由（1）知人=简=7二64根据题意，可得直线A3的斜率存在且不为0,设直线A8的方程为y=k（x+c）,A（xi,yi）,B（x2,）2）,联立直线AB与椭圆的方程，结合韦达定理得X1+X2，X1X2，＞1+）2,进而可得G点的坐标，由。G_L48,解得xq,再计算依阴，\DF\,进而可得瞿!，即可得出答案.|DF|【解答】解：（1）设/（・c,0）（c＞0）,根据椭圆的性质，得M=a+c,〃?=〃-c,所以M*m=|a2,所以a2-c2=即。2=402,所以a=2c,所以椭圆的离心率为（2）由（1）知力=yJa2—c2=x/3c,

根据题意，可得直线48的斜率存在且不为0,设直线的方程为)，=A(x+c),A(xi,y\),B(x2,”),y=k(x4-c)联立/y2_,得(4^+3)jr+^clcx^lrc2--12c2=0,U?+参=1r.-r.8cA24k2c2-12c2所以Xl+X2=7-，X\X2=n»4/+34/^+3y\+y2=k(xi+x2+2c)=6ck所以y\+y2=k(xi+x2+2c)=6ck所以G(4cfc23ck、

4Ar2+3,4H+3因为。G_LA8,3ck所以令J・Z=7,-Z^r。解得AD=2-'45+3所以|AB|=V1+k2\x\-X2\=V1+k2y](x[+无2尸一4¥621-2L8c/?、2/4/c2c2-12c2=Vl+F=Vl+F=Vl+F64c2A4-(16/c2-48c2)(4/+3)(4必+3)2=Vl+F144c2(必+1)

(4/c2+3)212c(l+k2)[3«1+[3«1+必)/_3«1+/)

(4必+3)2-4k2+3'[3«1+必)/_3«1+/)

(4必+3)2-4k2+3'[3«1+必)/_3«1+/)

(4必+3)2-4k2+3'所以指=12c(l+A2)4〃2+3所以指=12c(l+A2)4〃2+33c(l+H)=4.4k2+3所以需1的值为4.【点评】本题考杳椭圆的离心率，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力,属于中档题..已知双曲线C：1（a>0,〃>0）的离心率。=孚，其焦点为到渐近线的距a2b22离为（1）求双曲线的方程.（2）若过点M（0,3）的直线/交双曲线于A,8两点，且以48为直径的圆过坐标原点。，求直线,的方程.【分析】（1）先表示出焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出近最后利用离心率与c2=a2+.,求出G即可得到双曲线的方程；（2）设直线/的方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合后•几二0,列式求解即可得到答案.y2%2【解答】解：（1）双曲线C^-―=1（n>0,6>0）的焦点为（O，-C）,渐近线a2b2方程为y=即ar±/?y=0,因为焦点Q到渐近线的距离为VL所以解得b=V3,>Jaz+b2又因为离心率e=当2即^=»2a2因为c1=a2+b2,故J=2,c2=5,y2/TOC\o"1-5"\h\z所以双曲线的方程为―--=1;23（2）由题意可知，直线/的斜率存在，设直线/：尸履+3,设4（xi,yi）,B（X2."），y=kx+3联立方程组y2x2，可得（3斤-2）/+18h+21=0,\23-1则3人1H0,即AH土坐，H（18火）2-4X21X（3^-2）=72^+168>0,口,18/c21.FLX1+%2=7——，XrX2=-7——，3k2-23k-2c21JCAb2_AL.2_1Q故），IV2=（如+3）（te+3）=/CX\X2+3k（xi+A-2）+9=4^^+9=02，3/c-23k-23k-2以八8为宜角的圆过坐标原点，贝|JCM_LOB,故。4・。8=0,

f-r-pi21—6/c2—18n所以+y/2=—?—+9=0,3k-23k-2解得k=±¥，故直线/的方程为y=土3+3.【点评】本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题.3.已知椭圆C的右焦点为/(1,0),点A为椭圆C的上顶点，过点/与x轴垂直的直线与椭圆C相交于P，。两点，且|PQ=3.(I)求椭圆。的标准方程；(II)若直线/的倾斜角为30°,且与椭圆C交于M,N两点，问是否存在这样的直线/使得成+局+俞=6?若存在，求/的方程；若不存在，说明理由.【分析】(I)利用待定系数法，设椭圆的标准方程，然后利用题中的条件，建立关于小儿。的方程组，求解即可得到答案；(II)求出点4,尸的坐标，设直线/的方程，与椭圆方程联立，得到判别式大于0和韦达定理，利用重心坐标公式列式求出3判断是否符合题意即可.—X2V2【解答】解：(I)设椭圆。的标准方程为w+77=>0),CC=1a=2,b=y/3C=1a=2,b=y/3C=1a=2,b=y/3a2=b2+c2%2y2所以椭圆c的标准方程为二十—43(II)由题及(I)知，21(0,遮),F(l,0),假设存在直线/满足题意，设直线/的方程为丫=枭+3M(Xi,_yi),N3”)，(y=4-193,可得13/+86tx+12(d-3)=o,小=】由4=(8V5£)2-4x13x12(£2-3)>0,解得一缪VtV衅./+%2=-嚼，由题意可知点F为△AMN的重心，所以Xl+X2+X4=3",即-与等+0=3,解得t