决策技术与方法-第三章

决策分析技术与方法北京科技大学经济管理学院武森北京科技大学经济管理学院2目录第一章决策科学概述第二章确定型、风险型和不确定型决策第三章模糊决策第四章灰色系统预测与决策第五章可拓决策第六章其他决策分析方法北京科技大学经济管理学院33.3

模糊集合的运算3.2

模糊集合与隶属函数第三章模糊决策3.1

模糊数学与信息革命3.4

模糊集合与普通集合的相互转化3.5

模糊聚类分析3.6

模糊综合评判决策北京科技大学经济管理学院43.1模糊数学与信息革命

一、模糊数学的产生与发展

模糊数学是研究模糊领域中事物数学化的一门崭新的数学学科。它始于1965年美国著名控制论专家扎德（）教授的开创性论文“模糊集合”（fuzzysets）。 在现实世界中，有些事物之间的关系是确定的，但有些是不确定的，而在不确定中又有随机的和模糊的。事物的精确性、随机性和模糊性这三者是普遍存在的。北京科技大学经济管理学院53.1模糊数学与信息革命

一、模糊数学的产生与发展

大量的模糊现象使经典数学方法显得无能为力，而模糊数学的产生与发展则为研究这些模糊现象提供了有利的数学工具。 经典数学的基础可归结为集合论。根据集合论的要求，一个元素x是否属于集合A是明确的，无法处理实践中大量的不明确的模糊现象与概念。北京科技大学经济管理学院63.1模糊数学与信息革命

二、模糊数学对决策科学的贡献

利用模糊数学构造数学模型，来编制计算机程序与信息决策模型，可以更广泛、更深入的模拟人的思维与全方位深入挖掘各种决策信息，从而可以大大提高电子计算机的“智力”与信息决策的科学性、准确性。 模糊数学的主要贡献在于，它将模糊性与数学统一在一起。它的方法不是让数学放弃严格性去迁就模糊性，而是要将数学方法深入到具有模糊现象的禁区，从而为解决一些复杂大系统涉及模糊因素的科学决策问题开辟了一条新路。北京科技大学经济管理学院73.3

模糊集合的运算3.2

模糊集合与隶属函数第三章模糊决策3.1

模糊数学与信息革命3.4

模糊集合与普通集合的相互转化3.5

模糊聚类分析3.6

模糊综合评判决策北京科技大学经济管理学院8一、模糊现象与模糊集合例1

设X={1,2,3,4} 把小数子集记为，它的元素仍为1，2，3，4，同时给出各元素在该小数子集中的隶属程度，即3.2模糊集合与隶属函数

分母位置放的是论域中的元素，分子位置放的是相应元素的隶属度。当隶属度为零时，此项也可不写入。

扎德又将其写成北京科技大学经济管理学院93.2模糊集合与隶属函数

一、模糊现象与模糊集合定义 若对论域X中的每一个元素x，都规定从X到闭 区间[0,1]的一个映射：

则在X上定义了一个模糊集合：称为的隶属函数(membershipfunction)，称为元素xi的隶属度（gradeofmembership）。北京科技大学学经济管理学学院10二、隶属函数数的确定及其其分布在例1中，X={1,2,3,4}，3.2模糊集合与隶隶属函数x123410.80.20可用分布列表示：或者写成北京科技大学学经济管理学学院11二、隶属函数数的确定及其其分布如果有人给定定3.2模糊集合与隶隶属函数进而用用线性性函数数表示示：这样选选取隶隶属函函数也也是无无可非非议的的。北京科科技大大学经经济管管理学学院12二、隶隶属函函数的的确定定及其其分布布3.2模糊集集合与与隶属属函数数正态型型（对对称型型）戒上型型（偏偏小型型））戒下型型（偏偏大型型）常见的的隶属函函数北京科科技大大学经经济管管理学学院13函数是是概概率论论中很很重要要的一一种概概率分分布（（正态态分布布）的的概率率密度度函数数。式式中a,b都是给给定的的常数数，在在概率率论中中a叫做数数学期期望，，（（为为标准准差）），e是自然然对数数的底底。这这是最最常见见的一一种分分布。。二、隶隶属函函数的的确定定及其其分布布（一）正态态型（对称称型）3.2模糊集合与与隶属函数数隶属函数形如上式的模糊集合合称为正态型模糊糊集，以上称为正态型隶属属函数。a正态型隶属函数北京科技大大学经济管管理学院14二、隶属函函数的确定定及其分布布（二）戒上上型（偏小小型）3.2模糊集合与与隶属函数数隶属函数形如上式的模糊集合合（其中a>0,b>0）称为戒上型模糊糊集，以上称称为戒上型隶属属函数。c戒上型隶属属函数北京科技大大学经济管管理学院15二、隶属函函数的确定定及其分布布（三）戒下下型（偏大大型）3.2模糊集合与与隶属函数数隶属函数形如上式的模糊集合合（其中a>0,b>0）称为戒下型模糊糊集，以上称称为戒下型隶属属函数。c戒下型隶属函数北京科技大大学经济管管理学院16其中论域X=[0,200]，常数5表示以5岁为一级，，是为计算算方便而定定的。这里里，X是一个连续续的实数区区间。现计计算几个年年龄的隶属属度如下:二、隶属函函数的确定定及其分布布3.2模糊集合与与隶属函数数0.040.10.50.741150403028250x例2描述“年轻轻”这一模模糊集合，，一般认为为25岁以下是标标准的年轻轻，年过25岁，则年轻轻的程度将将递减。故故应属戒上上型。扎德德曾给出““年轻”这这个模糊集集合的隶属属函数为北京科技大大学经济管管理学院17二、隶属函函数的确定定及其分布布3.2模糊集合与与隶属函数数0.970.940.80.500例2(续)扎德给出了了模糊集合合为“年老老”的隶属属函数为其隶属度可可计算如下下表:80706055500

x北京科技大大学经济管管理学院18二、隶属函函数的确定定及其分布布3.2模糊集合与与隶属函数数同样可以给给出红光、、蓝光的隶隶属函数分分别为例3设波长的的论域域U=[4000,8000](单位：)，则“红光光”、绿光光”、“蓝蓝光”等都都是论域U上的模糊集集合。绿光光波长（单位：）），是是标标准的绿光光，其分布布图是以为对称的正正态分布。。实际描出出其分布图图的幅度b=300，可以给出出其隶属函函数为根据上式可以标出（或5100)时淡绿光的隶属度为北京科技大大学经济管管理学院193.3模糊集合的的运算3.2模糊集合与与隶属函数数第三章模模糊决策策3.1模糊数学与与信息革命命3.4模糊集合与与普通集合合的相互转转化3.5模糊聚类分分析3.6模糊综合评评判决策北京科技大大学经济管管理学院203.3模糊集合的的运算显然模糊集集中的空集集就是一个个普通集。。一、模糊集集合运算的的概念模糊集合（（简称模糊糊集）的运运算是普通通集合（简简称普通集集）运算的的拓广。 （一）空集 设有模糊集，当且仅当对于所有元素x它的隶属函数恒为零，则称为空模糊集，记做，即（二）全集集模糊集中的的全集，也也是普通集集，它的隶隶属函数是是1，即北京科技大大学经济管管理学院21一、模糊集集合运算的的概念（三）等集集两个模糊集集和，，当且且仅当对于于所有元素素x它的隶属函函数都相等等时，称它它们为相等，记为，，则3.3模糊集合的的运算

（四）子集

设有模糊集和，对于所有元素x

，当且仅当时，称包含于，此时称为的子集，记为，即当且仅当时，称真包含于，此时称为的真子集，记为。北京科技大大学经济管管理学院223.3模糊集合的的运算一、模糊集合运算的概念

（五）补集

模糊集的绝对补集记为，定义如下：具有隶属函数若和均为模糊集，则关于的相对补集记为，由下式定义，其中规定。的模糊集称为的绝对补集，即的补集北京科技大大学经济管管理学院23一、模糊集集合运算的的概念（六）并集集设论域X上两模糊集和和的的隶属函数数分别是和和，，它们的的并是一个个模糊集，，用来来表示，记记为即3.3模糊集合的的运算，其隶属函数数与和和的的隶属函数数之间有关关系x1O北京科技大大学经济管管理学院24一、模糊集集合运算的的概念（六）并集集例如设为为“胖子”的模糊集，，为“高个子”的模糊集，，今有两人人组成的集集合这时，，，的并并集表表示“或胖或高的的人”的模糊集，，其隶属度度为3.3模糊集合的的运算他们分别属于于“胖子”集合和“高个子”集合的的隶属度为其中“”称为取大运算算。北京科技大学学经济管理学学院253.3模糊集合的运运算上式也可表示示为其中“

”称为取小运算。一、模糊集合运算的概念

（七）交集 ，的交集也是一个模糊集，记为，其隶属函数规定为，，即1xO北京科技大学学经济管理学学院26对于上述的两两人集合，，且且一、模糊集合合运算的概念念（七）交集3.3模糊集合的运运算可有这里，交集表表示“又胖又高的人人”所组成的模糊糊集。北京科技大学学经济管理学学院27一、模糊集合合运算的概念念定理1模糊集的运算算通过它的隶隶属函数实现现：3.3模糊集集合的的运算算北京科科技大大学经经济管管理学学院28一、模模糊集集合运运算的的概念念例1设X={1,2,3,4}，则3.3模糊集集合的的运算算小数集集大数集集较小数数集不较小小数集集小或较较小数数集既小又又大数数集本例提提供了了将模模糊语语言数数学化化的范范例。。北京科科技大大学经经济管管理学学院29二、模模糊集集合的的运算算性质质普通集集中的的各种种运算算性质质除互互补律律外对对于模模糊集集也都都成立立，但但其证证明不不能用用文氏氏图或或真值值表，，而必必须利利用表表示模模糊集集特征征的隶隶属函函数来来证明明。定理2模糊集集具有有以下下的运运算性性质：：3.3模糊集集合的的运算算（1）幂等等律（2）交换换律（3）结合合律（4）吸收收律北京科科技大大学经经济管管理学学院30二、模模糊集集合的的运算算性质质3.3模糊集集合的的运算算（5）分配配律（6）复原原律（7）对偶偶律（8）定常律设是论域X上的模糊集合，则北京科科技大大学经经济管管理学学院31二、模模糊集集合的的运算算性质质例2证明吸吸收律律：3.3模糊集集合的的运算算证所以北京科科技大大学经经济管管理学学院32二、模模糊集集合的的运算算性质质例3证明对对偶律律（德德·摩根律律）：：3.3模糊集集合的的运算算证从而当时，当时，所以北京科科技大大学经经济管管理学学院33二、模模糊集集合的的运算算性质质例4验证普普通集集中互互补律律在模模糊集集中不不成立立（举举例））：3.3模糊集集合的的运算算即解例如，则，而北京科科技大大学经经济管管理学学院343.3模糊集集合的的运算算3.2模糊集集合与与隶属属函数数第三章章模模糊糊决策策3.1模糊数数学与与信息息革命命3.4模糊集合合与普通通集合的的相互转转化3.5模糊聚类类分析3.6模糊综合合评判决决策北京科技技大学经经济管理理学院35一、水平截集定义1

设给定模糊集，对于任意实数，称普通集为的水平截集，简称截集（cutsets）。 所谓取一个模糊集的截集，也就是将隶属函数按下式转化成特征函数：

3.4模糊集合合与普通通集合的的相互转转化1xO的特征函数其直观意义是：当x对的隶属度达到或超过时，就算是的元素。称为置信水平（belivablelevel），又可通俗的解释为“门槛”或“阈值”。北京科技技大学经经济管理理学院36性质2若且且，，则一、水水平截截集截集具有有以下性性质：3.4模糊集合合与普通通集合的的相互转转化性质1当时时，最最小。。若时时，则则称它是是的的“核”。定义2如果一个个模糊集集的的核是非非空的，，则称为为正规模糊糊集，否则称为为非正规模模糊集。。北京科技技大学经经济管理理学院37supp有时也记记做，，表示的的支集集是论域域U中为为正正的点的的集合，并称称supp—为的的边界。一、水水平截截集定义3模糊集的的支集supp为：3.4模糊集合合与普通通集合的的相互转转化截集与支集北京科技技大学经经济管理理学院38二、分解解定理和和扩张原原理分解定理理（decompositiontheorem）把模糊糊集合论论的问题题化为普普通集合合论的问问题来解解；扩张原理理（expansionprinciple）把普通通集合论论的方法法扩展到到模糊集集合中去去。分解定理理设为论论域U的一个模模糊集，，是的的截截集，，为的的特征函函数，则则3.4模糊集合合与普通通集合的的相互转转化北京科技技大学经经济管理理学院39所以。解取5个截集集：二、分解解定理和和扩张原原理例1设，，求。。3.4模糊集合合与普通通集合的的相互转转化则北京科技技大学经经济管理理学院40而在[0,1]内遍取，，可可以将分分为为两类：：二、分解解定理和和扩张原原理分解定理理的证明明因为是是的的特征函函数，即即3.4模糊集合合与普通通集合的的相互转转化于是北京科技技大学经经济管理理学院41二、分解解定理和和扩张原原理3.4模糊集合合与普通通集合的的相互转转化但所以分解定理理的证明明（续））北京科技技大学经经济管理理学院42则由映射射f产生的的的像为为这就是说说，经经过映射射f后，映射射成时时，其其隶属函函数可以以无保留留的传递递下去，，亦即经经过映射射后，模模糊集和和在在论域域中的相相应元素素的隶属属度保持持不变。。如果不是是单值映映射时，，则规定定像的隶隶属度取取最大值值。二、分解解定理和和扩张原原理扩张原理理设f是从X到Y的一个映映射，是是X上的一个个模糊集集：3.4模糊集合合与普通通集合的的相互转转化北京科技技大学经经济管理理学院43因f是平方运运算，即即，，则有有二、分解解定理和和扩张原原理例2设X={0,1,2,3,…,9}，并令f是平方运运算，令令{小的}是X上的一个个模糊集集，其定定义为3.4模糊集合合与普通通集合的的相互转转化北京科技技大学经经济管理理学院443.3模糊集合合的运算算3.2模糊集合合与隶属属函数第三章模模糊糊决策3.1模糊数学学与信息息革命3.4模糊集合合与普通通集合的的相互转转化3.5模糊聚类类分析3.6模糊综合合评判决决策北京科技技大学经经济管理理学院45定义2集合A，B的直积的的一一个子集集R称为从A到B的一个二二元关系系，简称称关系，，记做一、直积积、关系系、模糊糊关系定义1集合A和B的直积（descartesproduct）规规定定为序对对(a,b)的集合：：3.5模糊聚类类分析又称笛卡尔乘乘积。当A=B时，R称为A上的关系系。北京科技技大学经经济管理理学院46A={张三,李四,王五}，B={优,良,中,差}，就是张三三、李四四、王五五这三人人在考试试中可能能出现的的情况，，它共有有种种搭配方方式。设设在某次次考试中中，张三三得“优”，李四、、王五得得“中”，则构成成一个从从A到B的关系，，即一、直积积、关系系、模糊糊关系例13.5模糊聚类类分析R={(张三,优),(李四,中),(王五,中)}.显然，R是的的一个子子集。北京科技技大学经经济管理理学院47(1)用列表表表示关系系R若用“1”表示，，用“0”表示，，则有有一、直积积、关系系、模糊糊关系3.5模糊聚类类分析

A={张三,李四,王五}，

B={优,良,中,差}，R={(张三,优),(李四,中),(王五,中)}R优良中差张三1000李四0010王五0010例1(续)北京科技技大学经经济管理理学院48(2)用矩阵表表示关系系R若用“1”表示，，用“0”表示，，则有有一、直积积、关系系、模糊糊关系3.5模糊聚类类分析R={(张三,优),(李四,中),(王五,中)}

A={张三,李四,王五}，

B={优,良,中,差}，例1(续)北京科技技大学经经济管理理学院49(3)用关系图图表示关关系R若，，则从a到b连一条直直线，即即一、直积积、关系系、模糊糊关系3.5模糊聚类类分析R={(张三,优),(李四,中),(王五,中)}

A={张三,李四,王五}，

B={优,良,中,差}，集合A集合B张三李四王五优良中差关系图例1(续)北京科技技大学经经济管理理学院50所刻画。。叫叫做做据据有关关系的的程度。。一、直积积、关系系、模糊糊关系定义3称直积空空间上上的一个个模糊集集为从从X到Y的一个模糊关系系(fuzzyrelation)，记做3.5模糊聚类类分析模糊关系系由由其隶属属函数北京科技技大学经经济管理理学院513.5模糊聚类类分析R4050607080合计140201642042150801008020102901603012015012030450170153012015012043518001281021合计1452673563001701238405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81表中第二二行身高高140cm的学生中中40kg的人最多多，其权权数定为为1，其余依依比例定定为0.8,0.2,0.1和0，其他各各行同理理可得，，则身高高-体重的模模糊关系系如下：：一、直积积、关系系、模糊糊关系例2某中学对对1238名学生就就身高论论域X={140,150,160,170,180}(单位：cm),体重论域域Y={40,50,60,70,80}(单位：kg)的统计如如下表：：北京科技技大学经经济管理理学院52模糊向量可以以看成一元模模糊集的另一一种表达形式式。模糊向量量与普通向量量的区别在于于前者的诸分分量。。如如果分量仅取取0,1二值，即，，则称为为布尔向量(boolevector)。称为n维模糊向量(fuzzyvector)，记为二、模糊矩阵阵（一）模糊矩矩阵和关系图图设X={x1,x2,…,xn}，X上的模糊集3.5模糊聚类分析析它的n个分量北京科技大学学经济管理学学院53例3设有一组同学学为X：X={张三,李四,王五},他们可以选学学英语、法语语、德语、日日语四种外语语中的任意几几门。令Y表示这四门外外语课所组成成的集合：Y={英语,法语,德语,日语}。设他们的结业业成绩如下：：二、模糊矩阵阵（一）模糊矩矩阵和关系图图可以用模糊矩矩阵和关系图图表示模糊关关系。3.5模糊聚类分析析姓名语种成绩张三英语86张三法语84李四德语96王五日语66王五英语78北京科技大学学经济管理学学院54若用考分来描描述掌握的程程度，则把他他们的成绩都都除以100而折合成隶属属度，由上表表可以构造出出一个模糊矩矩阵，用用它来表示“掌握”的模糊关系：：例3（续）二、模糊矩阵阵（一）模糊矩矩阵和关系图图3.5模糊聚类分析析姓名语种成绩张三英语86张三法语84李四德语96王五日语66王五英语78北京科技大学学经济管理学学院55还可以用相应应的图来表示示，此图称为为关系图。例3（续）二、模糊矩阵阵（一）模糊矩矩阵和关系图图3.5模糊聚类分析析姓名语种成绩张三英语86张三法语84李四德语96王五日语66王五英语78XY张三李四王五英法德日0.860.840.780.960.66北京科技大学学经济管理学学院563、并：设，，则则称为为的的并，记为1、相等：若，，则称二、模糊矩阵阵（二）模糊矩矩阵的运算设模糊矩阵3.5模糊聚类分析析2、包含：若，，则称,例如：4、交：设，，则则称为为的的交，记为5、补（余）：称为为的的补矩阵北京科技大学学经济管理学学院57例4设模糊矩阵，，则则二、模糊矩阵阵（二）模糊矩矩阵的运算3.5模糊聚类分析析北京科技大学学经济管理学学院58二、模糊矩阵阵其中x,y,z分别表示论域域X,Y,Z中的元素，叫做矩阵与与的合合成，也称为为与的的模糊乘积。定义4设矩阵阵表表示示X到Y的模糊糊关系系，矩矩阵表表示示Y到Z的模糊糊关系系，则则与与的的合成成3.5模糊聚聚类分分析定义为为X到Z的模糊糊关系系，（二））模糊糊矩阵阵的运运算6、合成(composition)：北京科科技大大学经经济管管理学学院59例5设模糊糊矩阵阵二、模模糊矩矩阵（二））模糊糊矩阵阵的运运算3.5模糊聚聚类分分析其中如此等等等。。北京科科技大大学经经济管管理学学院60若则则7、转置(transpose)：二、模模糊矩矩阵设模糊糊矩阵阵，，称为为的的转转置矩矩阵，，记为为3.5模糊聚聚类分分析模糊矩矩阵的的转置置，具具有以以下性性质：：（二））模糊糊矩阵阵的运运算北京科科技大大学经经济管管理学学院61显然指指数法法则成成立，，即m,n为整数数时有有8、模糊矩矩阵的的幂：二、模模糊矩矩阵3.5模糊聚聚类分分析（二））模糊糊矩阵阵的运运算北京科科技大大学经经济管管理学学院62若，，则则则称为为的的截矩阵阵，其对对应关关系叫叫做的的截关系系，并并称称为为置置信水水平。。显然然是是布布尔矩矩阵。。三、截截矩矩阵定义5设给定定模糊糊矩阵阵，，，，对对于任任意，，记记3.5模糊聚聚类分分析其中截矩阵阵的性质：北京科科技大大学经经济管管理学学院63（3）传递递性：：，，即即（2）对称称性：：，，即即为为对对称方方阵；；以上传传递关关系是是指：：包包含它它与它它自身身的合合成。。则称称是是X上的一一个模糊等等价矩矩阵(fuzzyequivalentmatrix)。四、模模糊等等价矩矩阵与与相似似矩阵阵定义6设X上的一一个模模糊矩矩阵，，满满足：：3.5模糊聚聚类分分析（1）自反反性：：，，即即主对对角线线上元元素都都是1；满足自自反性性和对对称性性而不不满足足传递递性的的模糊糊矩阵阵称为为模糊相相似矩矩阵(fuzzysimilarmatrix)。北京科科技大大学经经济管管理学学院64五、模模糊聚聚类分分析（一））截截矩矩阵法法定理1模糊矩矩阵是是模糊糊等价价矩阵阵的充充要条条件是是对于于任意意的，，截截矩阵阵均均为为等价价布尔尔矩阵阵。3.5模糊聚聚类分分析北京科科技大大学经经济管管理学学院65故都都是是等价价布尔尔矩阵阵。由于故故为为模糊糊等价价矩阵阵。五、模模糊聚聚类分分析（一））截截矩矩阵法法例6设3.5模糊聚聚类分分析北京科科技大大学经经济管管理学学院66它们只只能各各成一一类，，即{x1}，{x2}，{x3}。五、模模糊聚聚类分分析（一））截截矩矩阵法法例6(续)可以看看成反反映X={x1,x2,x3}的如下下关系系：3.5模糊聚聚类分分析R1x1x2x3x1100x2010x3001北京科科技大大学经经济管管理学学院67易见，，x2,x3归并为为一类类{x2,x3}，x1仍独自自成为为一类类{x1}，。五、模模糊聚聚类分分析（一））截截矩矩阵法法例6(续)可以看成另另一种关系系：3.5模糊聚类分分析R0.5x1x2x3x1100x2011x3011北京科技大大学经济管管理学院68五、模糊聚聚类分析（二）模模糊相似似矩阵的聚聚类分析例7设有X上的模糊关关系：3.5模糊聚类分分析x1x2x3x4x5x110.10.80.20.3x20.1100.31x30.8010.70x40.20.30.710.6x50.3100.61试将X={x1，x2，x3，x4，x5}进行聚类。。定理2如果给定一一个模糊相相似矩阵，，可以用合合成运算寻寻求模糊等等价矩阵，，然后后再对进进行聚类类分析。北京科技大大学经济管管理学院69显然满满足自反性性与对称性性。又故不满满足传递性性，是模糊糊相似矩阵阵。五、模糊聚聚类分析（二）模模糊相似似矩阵的聚聚类分析例7(续)3.5模糊聚类分分析解将模糊关系系表写成矩矩阵形式：：北京科技大大学经济管管理学院70现求：：故可选定为为模模糊等价矩矩阵，对X进行聚类。。五、模糊聚聚类分析（二）模模糊相似似矩阵的聚聚类分析例7(续)3.5模糊聚类分分析北京科技大大学经济管管理学院71取，，五、模糊聚聚类分析（二）模模糊相似似矩阵的聚聚类分析取，，X可分为四类类：例7(续)3.5模糊聚类分分析X可分为三类类：北京科技大大学经济管管理学院72取，，X只有一类：：五、模糊聚聚类分析（二）模模糊相似似矩阵的聚聚类分析取，，X可分为两类类：例7(续)3.5模糊