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《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》导数题目精选《全国卷高考数学的分析及应对》和《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》都对全国卷做了系统性的分析零点问题依然是 2018全国3卷的热点问题。1.已知函数fx2ex23，aR．xa（1）若函数yfx的图象在x0处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若x0，fx0恒成立，求a的取值范围．延续以前的思路，且创新。2.已知fxlnx1,gxxsinx1x2axx2（1）证明：fxx1x（2）若x1fxgx0,x0,1恒成立，求a的取值范围放缩法+两边夹的思路求参数范围。改编于2013辽宁《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》3.已知函数 f x lnx 1 ax2,a 0（1）讨论 fx的单调性；（2）若函数fx在区间1,0上有唯一零点x0，证明：e2x01e1解析：（1）f'x12ax2ax22ax1,x1x1x1令gx2ax22ax10，4aa2①当0，即0a2时，f'x0，所以fx在1,0单增，②当0，即a2时，gx2ax22ax1有两个零点x1aaa2aaa22a,x22a（需要把两根与定义域的端点值x1进行比较，法一：（特值法）取a3进行判断，法二：（图像法）注意到gx开口向上，对称轴为x1，g010，可以确定121x1x20，法三：函数观点）2因为x1aaa2111在2,单减，则x11,1，同理2a242a2x21,0，所以fx在1,x1单增，在x1,x2单减，在x2,单增，2（2）由（1）知，当0a2时，fx在1,0单增，则对任意的x1,0，有fxf00当a2时，结合f00，作出函数图像，知若函数fx在区间1,0上有唯一零点x0，则极大值点xx1是函数的唯一零点，即x0x1，（要确定x0的范围，很自然的思路是借助零点存在性定理，想说明fe21fe110，遗憾的是，这样走不通。于是重新思考 x0满足那些条件，一是极值点，二是函数的零点由f'x00得2ax022ax010，知a,x0是两个相关变量，于是和以前经验一样，在fx0lnx01ax020中消去一个变量）《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》由f'x00得2ax022ax010，即a1，2x0x01则fx0lnx01x0lnx01110，2x0122x01令tx01，t1，令htlnt11t2t10，0,2t，h'2t222所以ht在0,1单减，注意到he221e20，he111e022222则ht在e2,e1上有唯一零点x01，所以e2x01e1。变式：已知函数fxexlnxa有唯一零点x0，证明：1x012证明：容易证明exx1，lnx2x1（略），当a2时，则lnxax1ex1，两个等号不能同时取到，所以此时无零点。当a2时，f'xexx1，易知f'x单增，注意到f'0110，aaf'1ae1a10，所以f'x有唯一零点，记为x1,x11a,0，所以fx在a,x1单减，在x1,单增，若函数有唯一零点x0，则x0x1。此时有ex0x01a0，可得ex0x0

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