等差数列的概念与通项公式

第二章 数列2.2 等差数列第1课时 等差数列的概念与通项公式A级 基础巩固一、选择题1．有穷等差数列 5，8，11，⋯，3n＋11(n∈N*)的项数是( )A．nC．n＋4解析：在

3n＋11

中令

B．3n＋11D．n＋3n＝1，结果为14，它是这个数列的第

4项，前面还有5，8，11三项，故这个数列的项数为 n＋3.答案：D2．若{an}是等差数列，则由下列关系确定的数列 {bn}也一定是等差数列的是( )A．bn＝an2 B．bn＝an＋n2C．bn＝an＋an＋1 D．bn＝nan解析：{an}是等差数列，设 an＋1－an＝d，则数列 bn＝an＋an＋1满足：bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d.答案：C3．数列{an}中，an＋1＝an，a1＝2，则a4为()1＋3an88162A.7B.5C.5D.19解析：因为 1＝1＋3an，an＋1 an所以 1＝1＋3，an＋1 an1 1所以 － ＝3，an＋1 an1 1所以an＝2＋3(n－1)，1119a4＝2＋3(4－1)＝2，所以a4＝2.19答案：D4．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )A．100 B．99 C．98 D．979a1＋36d＝27，解析：由已知， 所以a1＋9d＝8，a1＝－1，d＝1，a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98，故选C.答案：C．若，x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于()5lg2lg(2A．0B．log25C．32D．0或32解析：依题意得2lg(2x－1)＝＋x＋，lg2lg(23)所以(2x－1)2＝2(2x＋3)，所以(2x)2－·x－＝，4250所以(2x－5)(2x＋1)＝0，所以2x＝5或2x＝－1(舍)，所以x＝log25.答案：B二、填空题．已知，，成等差数列，那么二次函数＝2＋2bx＋c(a≠0)6abcyax的图象与x轴的交点有________个．解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，又因为＝4b24ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0所以二次函数的图象与 x轴的交点有1或2个．答案：1或27．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且1m≠n)的四个根组成首项为4的等差数列，则 m＋n的值为________．解析：设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为 x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1.设数列的首项为 x1，则根据等差数列的性1质，数列的第4项为x2，由题意知x1＝4，3134－41，所以x2＝，数列的公差d＝＝44－16115517所以数列的中间两项分别为4＋6＝12，12＋6＝12.所以·＝＝3＝5×735x1x2m16xn1212144所以＋＝3＋35＝31.mn1614472答案：31728．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，所以n＝5.答案：5三、解答题9．在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.解：(1)因为a5＝－1，a8＝2，a1＋4d＝－1， a1＝－5，所以 解得a1＋7d＝2， d＝1.(2)设数列{an}的公差为d.由已知得，a1＋a1＋5d＝12， a1＝1，解得a1＋3d＝7， d＝2.所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以a9＝2×9－1＝17.10．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．a1＋a2＝a3，解：由题意知a1a2＝a4，2a1＋d＝a1＋2d，所以a1（a1＋d）＝a1＋3d.a1＝2，解得d＝2，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.故数列{an}的通项公式为an＝2n.B级 能力提升1．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，⋯，am，y与x，b1，b2，⋯，a2－a1bn，y各自都成等差数列，则 等于( )mm＋1nn＋1A.nB.n＋1C.mD.＋m1解析：设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2，第一个数列共(m＋2)项，所以d1＝y－x；m＋1y－xa2－a1d1第二个数列共(n＋2)项，所以d2＝n＋1，这样可求出b2－1＝d2＝bn＋1.m＋1答案：D．在数列n中，1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(an，2{a}aan－1)都在直线x－y－3＝0上，则an＝________．解析：由题意得an－an－1＝3，所以数列{an}是首项为3，公差为3的等差数列，所以an＝3n，an＝3n2.答案：3n23x3．已知函数f(x)＝x＋3，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定．1(1)求证：xn是等差数列；1(2)当x1＝2时，求x2015.(1)证明：因为f(x)＝3x，数列{xn}的通项，x＋3xn＝n－，f(x1)所以xn＝3