弧度制 【知识点睛+题型强化】 高一数学 课件（苏教版2019必修第一册）

7.1角与弧度（第二课时）弧度制课标要求素养要求1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.新知探究摄氏度与华氏温度“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度.”摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(AndersCelsius1701～1744)，其结冰点是0℃，沸点为100℃.1714年德国人法勒海特(Fahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度.人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1”.按照华氏温标，则水的冰点为32，沸点为212.“华氏温标”是经验温标之一.在美国的日常生活中，多采用这种温标.规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度.华氏温度用字母“F”表示.摄氏温度(℃)和华氏温度()之间的换算关系为：华氏度()＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏度()－32)÷1.8.问题温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？提示弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角.1.度量角的两种单位制在用弧度制表示角时，单位可以省略度弧度半径长rad2.弧度数 (1)正角：正角的弧度数是______. (2)负角：负角的弧度数是______. (3)零角：零角的弧度数是____. (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是 |α|＝______.正数负数03.角度制与弧度制的换算2πrad360°πrad180°4.扇形的弧长和面积公式如图：(1)则有l＝____________.若r＝1，则有l＝________.5.角与实数的关系 在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起__________关系. 如图所示：|α|·r|α|一一对应正实数负角基础自测[判断题]1.1弧度就是1°的圆心角所对的弧.() 提示1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.2.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.()4.扇形的半径为1cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30(cm).() 提示扇形的弧长公式l＝|α|r，α的单位为弧度.×√√×[基础训练]1.下列命题中的假命题是()解析根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D.答案D2.将2340°转化为弧度为________.答案13π4.若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限.解析2π－5与－5的终边相同，答案一[思考]1.对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？2.角α的弧度数与α所在的圆的半径有关吗？提示α的弧度数由角α的大小唯一确立，而与其所在圆的大小(半径)无关.题型一角度与弧度的互化及应用【例1】将下列角度与弧度进行互化：题型二用弧度制表示角的集合【例2】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).规律方法根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形.(2)写出区域边界作为终边时角的表示.(3)用不等式表示区域范围内的角.(4)按逆时针方向书写.【训练2】已知角α＝2010°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.又－5π≤γ<0，解如图所示，根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，设⊙O1与OA切于C点.连接O1O，O1C.OO1＝OA－O1C＝300－O1C，解得O1C＝100m.这时⊙O1的面积为π·1002＝10000π(m2).规律方法扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)，其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意：(1)看清角的度量制，选用相应的公式；(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题.∴OD＝OA＋AD＝100＋20＝120，一、课堂小结1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算素养.2.本节课主要讲述角度制与弧度制的互化和利用弧长公式、面积公式解决有关计算问题.二、课堂检测1.下列各命题中，真命题是()A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧B.1弧度是长度等于半径的弧C.1弧度是1°的弧与1°的角之和D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角解析根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.答案D2.将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是()答案D4.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图是书画家唐寅(1470—1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为________cm2.解析如图，设∠AOB＝θ，OA＝