山东省济宁市运河实验中学2021年高三数学文期末试题含解析

山东省济宁市运河实验中学2021年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．3.已知sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，则（）A．cosβ=2cosα B．cos2β=2cos2αC．cos2β=2cos2α D．cos2β=﹣2cos2α参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简所给的条件，可得结论．【解答】解：∵已知sinθ+cosθ=2sinα，则1+sin2θ=4sin2α，即sin2θ=4sin2α﹣1，又sin2θ=2sin2β，∴4sin2α﹣1=2sin2β，即4?﹣1=2?，即cos2β=2cos2α，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．4.设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=﹣ B．∥ C．=2 D．⊥参考答案：A【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据向量共线定理，可得若+=成立，则向量、共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．【解答】解：由+=得若=﹣=，即，则向量、共线且方向相反，因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立，对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反，C项中向量向量、的方向相同，D项中向量、的方向互相垂直．只有A项能确定向量、共线且方向相反．故选：A5.设函数，把的图象向左平移个单位后，得到的部分图象如图所示，则的值等于（

）A．

B．

C．

D．1参考答案：A因为函数，然后将其图象向左平移个单位后得到，由平移后的图象知，平移后的图象在处取最小值，则,∴,又，∴，.选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.6.已知中，，且的面积为，则（

）A．

B．

C．或

D．或

参考答案：D7.利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印

的点落在坐标轴上的个数是

（

） A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B8.若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.

等于（

）A.－ B.－ C. D.参考答案：【知识点】诱导公式的应用.C2【答案解析】A

解析：，故选A.【思路点拨】利用诱导公式将所求化为锐角的三角函数求解.10.已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知（为虚数单位）是一元二次方程(均为实数)的一个根，则=__________.参考答案：19略12.已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是．参考答案：≥e【考点】不等式的综合．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由题意可求得≤7；由lnb≥a可得≥（b≥），设函数f（x）=（x≥），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．【解答】解：∵正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，∴5﹣3a≤4﹣a，∴a≥．∵5﹣3a≤b≤4﹣a，∴﹣3≤≤﹣1．从而≤7，∵lnb≥a，∴≥（b≥），设f（x）=（x≥），则f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．∴f（x）min=f（e）=e．∴≥e，故答案为：≥e．【点评】本题考查不等式的综合应用，得到≥（b≥），通过构造函数求的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．13.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入的值为2，则输出的结果

.参考答案：14.若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=．参考答案：1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴ln（+x）（﹣x）=0，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．15.过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于

．参考答案：

略16.若不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围为__________参考答案：17.已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则|BF|=．参考答案：10【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的距离公式可求得．【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，﹣=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴=，即m+2=2﹣3，解得：=2或（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴|BF|==10．故答案为：10．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

参考答案：解析：⑴①证明:∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；连接BD交AC于点O，连接FO，∵正方形ABCD的边长为，∴AC＝BD＝2；在直角梯形ACEF中，∵EF＝EC＝1，O为AC中点，∴FO∥EC，且FO＝1；易求得DF＝BF＝，DE＝BE＝，由勾股定理知DF⊥EF，BF⊥EF，∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角，由BF＝DF＝，BD＝2可知∠BFD＝，∴平面BEF⊥平面DEF

⑵取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，∵AB＝BF＝AF＝，∴AM⊥BF，又∵MN∥EF，EF⊥BF，∴MN⊥BF，∴∠AMN就是二面角A－BF－E的平面角。易求得，；在Rt△中，可求得，∴在△中，由余弦定理求得，∴，（3）等体积法：设Ｄ点到平面ＡＢＦ的距离为d

因为是正三角形且边长为所以

，所以，解得d=(或先求点Ｏ到平面ＡＢＦ的距离，由Ｄ点到平面ＡＢＦ的距离是Ｏ点到平面ＡＢＦ距离的两倍求得)求法：取ＡＢ的中点Ｍ连ＯＭ，ＦＭ在中过Ｏ点作斜边ＦＭ的垂线ＯＨ垂足为Ｈ，则ＯＨ为点Ｏ到平面ＡＢＦ的距离，Ｄ到平面ＡＢＦ的距离d=2OH，所以19.（本大题13分）已知函数（为常数）（1）若在区间上单调递减，求的取值范围；（2）若与直线相切：（ⅰ）求的值；（ⅱ）设在处取得极值，记点M(,)，N(,)，P(),

,若对任意的m(,x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定的最小值，并证明你的结论.参考答案：(1)

(2)

(i)a=-3

ks5u

ii)即又因为,所以m的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的的最小值为2.20.（本小题满分10分）已知函数，（其中，，），其部分图象如图所示．（I）求的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的值．

参考答案：（I）由图可知，，，所以∴又，且，所以所以．（II）由（I），所以=因为，所以，．故，当时，取得最大值．21.如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（1）证明：PB⊥CD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BC的中点E，连接DE，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OE，OD，推出OE⊥PB，证明OE∥CD，得到PB⊥CD．（2）由OE，OB，OP两两垂直．以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出相关点的坐标，求出平面PAD的法向量，平面PBD的法向量为，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（1）证明：取BC的中点E，连接DE，则ADEB为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OE，OD，…由△PAB和△PAD都是等边三角形可知PA=PB=PD，所以OA=OB=OD，即点O为正方形ADEB对角线的交点…故OE⊥BD，从而OE⊥平面PBD，所以OE⊥PB，因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD，因此PB⊥CD…（2）由（1）可知，OE，OB，OP两两垂直．以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，建立如图所示的直角坐标系O﹣xyz，…设|AB|=2，则，，，，，…设平面PAD的法向量，，，取x=1，得y=1，z=﹣1，即，…因为OE⊥平面PBD，设平面PBD